——特奥多尔·赖耶

《古今综合几何；德国数学家协会年报》，第2卷，第346-347页

古希腊几何命题，常关乎具体图形，甚者构造繁复。图中诸点线，位置变化多端，古人必逐一分疏。今世算家则不然，善使图形相生相变，以变量视之，更借正负、虚数之法，汇诸例为一统。如阿波罗尼奥斯《论比例截线》两卷所论之题，今世以一法通解；而古人则析为八十余例，仅因位置差异便各自为论。诚如赫尔曼·汉克尔所言：古之几何，为求表面简明，反失原理统一之真简；宁取感官可察之浅近表象，而弃几何形相变易之深层关联——虽其位可辨于目，然其理未通于神。

——特奥多尔·赖耶《古今综合几何论；德意志算家协会年报》，第2卷，第346-347页

715.众所周知，中学规定的数学本质上是欧几里得式的，而让我们深入理解自然机制和规律的，是现代数学、函数论和微积分。欧几里得数学确实是函数论的前提，但就像一个人虽然学了拉丁语名词和动词的屈折变化，却未必能读懂拉丁作家的作品，更不用说欣赏贺拉斯的妙处一样，欧几里得数学，也就是中学的数学，无法开启自然及其规律的大门。欧几里得数学假定数学形式是完整且不变的；它以适当的准确性描述这些形式，并以完美的清晰、秩序和完整性列举其内在及相关属性，也就是说，欧几里得数学研究形式的方式，就像解剖学研究尸体及其器官一样。

另一方面，变量数学——函数论或分析学——则从生成的角度考虑数学形式。通过写出抛物线的方程，我们表达了它的生成规律，即变量点运动的规律。在学生眼前，一个点按照这个规律运动所形成的轨迹，就是抛物线。

如果说欧几里得数学像解剖学研究尸体那样处理空间和数的形式，那么现代数学则如同研究生命体，研究生长和变化的形式，从而不仅让我们理解自然的现状和表象，还理解自然的生成和创造过程——揭示其过渡阶段，并以此培养对生成规律的认知和理解。因此，现代数学与欧几里得数学的关系，就如同生理学或生物学与解剖学的关系。但正是在这一点上，我们对自然的看法远高于古人；我们不再将自然视为一个静止的完整体，因其崇高和丰富的形式而令人赞叹，而是将其视为一个充满活力的生长有机体，按照明确、微妙且深远的规律展开；我们能够在短暂中把握永恒，在fleetg现象中把握规律，并能通过数学公式将这些规律以最简单、最真实的方式表达出来。

——E.迪尔曼《数学：新时代的火炬》（斯图加特，1889年），第37页

世人皆知，中学学堂所授算学，大抵循欧氏之法，而洞悉自然机理、揭示天地规律者，实赖现代算学、函数论与微积分。欧氏算学固为函数论之基，然犹若习拉丁语之变格变位，未必能读典籍，更遑论赏贺拉斯之妙——学堂所授欧氏算学，亦难启自然规律之秘。欧氏算学预设形数恒常不变，以精准确述其状，条分缕析其属性，犹如解剖家操刀于尸身。

反观变量算学（函数论或分析学），则究形数之生成。书抛物线方程，即明其生成之律，示动点运行之轨。当学子目睹一点循律而动，抛物线乃现于眼前。

若谓欧氏算学如解剖尸身般研析空间形数，现代算学则如医学生理，察形数之生长变易——不仅知自然之表象，更探其创生之迹，揭其演化之阶，使人通“生成之律”。是以现代算学与欧氏算学之关系，犹生理学（或生物学）之于解剖学。今人之自然观所以超越古人，正在于此：不视自然为静止完体，徒叹其形式崇高繁富；而视之为蓬勃机体，依深远精微之律舒展。吾人于流变中执永恒，于现象中求法则，更以算学公式，显其最简至真之态。

——E.迪尔曼《算学：新时代之火炬》（斯图加特，1889年），第37页

716.现代几何的卓越之处，最明显的在于它对问题给出的全面充分的解答；它在一个视角中呈现所有可能的情况，并且一个一般定理常常涵盖整个学科；如果把这些定理详细推导成命题，并按照古人的方式进行证明，很可能会成为大型论着的主题。因为任何解决这类最复杂问题的定理，经过适当简化后，都能适用于所有从属情况。

——埃德蒙·哈雷《现代代数卓越性的例证；哲学汇刊》，1694年，第960页

现代几何之卓越，最显于解题之全备：一图可括诸般情形，一定理常涵全学科。若按古人之法，逐命题推演证明，必成宏篇巨制。盖能解一类最繁之题者，约而化之，自能通贯从属诸例。

——埃德蒙·哈雷《论现代代数之优长；哲学汇刊》，1694年，第960页

=717.=十九世纪数学思想最显着的特征莫过于其批判精神。这种精神始于微积分领域，迅速渗透至整个分析学，并在世纪末彻底革新了几何学基础，进而向力学及广阔的数理物理领域拓展......对算术与微积分基础的严格检验揭示出：许多曾被视作确凿无疑的推理其实漏洞百出。——皮尔庞特，J.《十九世纪数学史》；《艺术与科学大会论文集》（波士顿与纽约，1905年）第1卷第482页

十九世纪算学思潮，其彰明较着者，厥为批判之精神。此风肇始于微积之域，俄而席卷析学全界。逮至世纪之末，几何根基为之革新，更波及力学、数理诸科……验算术、核微积，乃知往者奉为圭臬之论，实则罅漏百出。

——J.皮尔庞特《十九世纪算学史》；《学艺大会文编》（波士顿、纽约，1905年），卷一，页四百八十二

=718.=若将数学难题比作亟待开凿的巨岩，希腊数学家的研究方式恰似技艺娴熟的石匠——他们以铁锤凿子为工具，凭借惊人毅力从外部逐层剥落岩体；而现代数学家则如同专业的矿工，先开掘数条隧道深入岩层，最终用一次爆破便揭开其内部宝藏。——汉克尔，赫尔曼《近世纪数学发展》（蒂宾根，1884年）第9页

若以算学难题喻为岩岫，希腊算家如良匠凿石，持锤握錾，凭坚忍之力，自外而渐次削之；今世算家则似精于开矿之士，先穿隧入岩腹，终一举爆破，而宝藏毕现。

——赫尔曼·汉克尔《近世算学沿革》（蒂宾根，1884年），页九