第十三章数学与逻辑

=1301.=数学适用于每一项研究，无论是道德的还是物理的。甚至连逻辑规则——数学被严格束缚于这些规则——如果没有数学的帮助也无法推导出来。论证的法则可以简单陈述，但在将其应用于鲜活的语言并通过观察验证之前，必须对其进行巧妙的转换。纯粹而简单形式的三段论不能直接与所有经验相比较，否则就不需要亚里士多德去发现它了。它必须转化为推理喜欢采用的所有可能形式，这种转化就是建立法则过程中的数学操作。

——本杰明·皮尔斯《线性结合代数》；《美国数学杂志》，第4卷（1881年），第97页

算学之用，遍及物理、名教诸学。即名理之规则，若无算学相助，亦难推演。论辩之法，虽可简言其要，然欲施于言语、验于实事，则须变通其式。三段论法，若守其本形，难合万事之变，故待亚里士多德而始彰。必使之千变万化，契合推理之妙，此变通之道，即算学之能事也。

——本杰明·皮尔斯《线性结合代数》；《美国算学杂志》，第4卷（1881年），第97页

=1302.=在数学中，我们看到了我们思维有意识的逻辑活动最纯粹、最完美的形式；在这里，我们清楚地看到了思维前进所需的全部努力和极大的谨慎，看到了精确确定已建立的一般定理来源的必要性，以及形成和理解抽象概念的困难；但我们也在这里学会了相信这种智力劳动的确定性、广度和成果丰富性。

——h.亥姆霍兹《演讲与致辞》，第1卷（布伦瑞克，1896年），第176页

算学之中，名理之思，纯然无杂，尽善尽美。观其研求之勤、思虑之密，可知确立定理须穷其本源；察其抽象之难、理解之艰，可知构建概念非易事。然习之既久，则信此心智之功，必有所成，且其用无穷。

——h.亥姆霍兹《讲演与文辞》，第1卷（布伦瑞克，1896年），第176页

=1303.=数学证明是一种逻辑，其用途不亚于甚至超过学校里通常教授的逻辑，有助于正确塑造心智，扩展心智能力并增强它，使其能够进行精确推理，并在所有情况下——甚至是非数学的主题中——辨别真理与谬误。因此据说，古埃及人、波斯人和斯巴达人很少选举不具备数学知识的人作为新国王，他们认为没有数学知识的人判断不健全，不适合统治管理。

——本杰明·富兰克林

《数学的用途》；《着作集》（波士顿，1840年），第二卷，第68页

算学之证，其于逻辑之道，较庠序所授，或犹过之。此道可正心术、扩识量、坚智质，使人精于推衍，于万事万物间，辨真伪、明是非，即非算学之题，亦无滞碍。昔闻埃及、波斯、斯巴达立君，非通算学者弗选，盖以不通算理者，断事易谬，不足临民而治国也。

——本杰明·富兰克林

《算学之用》；《文集》（波士顿，1840年），卷二，页六十八

=1304.=数学概念从本质上说是抽象的，实际上其抽象程度通常比逻辑学家的抽象程度更高。

——乔治·克里斯托尔

《大英百科全书》（第九版），“数学”条目

算学之念，本性玄奥。其抽象之境，往往高于逻辑之思。

——乔治·克里斯托尔

《大英百科全书》（第九版），“算学”条

=1305.=数学是科学逻辑的巨大钳子……

——G.b.哈尔斯特德

《科学》（1905年），第161页

算学者，科学逻辑之巨钳也……

——G.b.哈尔斯特德

《科学》（1905年），页一百六十一

=1306.=逻辑借用了几何学的规则，却不理解其力量……我绝不想把逻辑学家与几何学家相提并论，后者才教授引导理性的真正方法……每个人都在寻求避免错误的方法。逻辑学家声称能引路，但只有几何学家能抵达，而且除了他们的科学之外，没有真正的证明。

——帕斯卡

（引自A.雷比埃《数学与数学家》，巴黎，1898年，第162-163页）

逻辑借几何之规，然未解其神髓……逻辑之徒与几何之士，岂可同日而语？后者方得导正思维之真法。世人皆求避谬之术，逻辑自诩前驱，实则唯几何能至。舍此学外，无真证之道。

——帕斯卡

（引自A.雷比埃《算学与算家》，巴黎，1898年，页一百六十二至一百六十三）

=1307.=数学如同辩证法，是高级思维的工具，在运用中它像雄辩术一样是门艺术。两者都只看重形式，对内容毫不在意。数学考虑的是便士还是几尼，修辞学扞卫的是真理还是谬误，对两者来说都完全无关紧要。

——歌德

《散文格言》，“自然”第四部分，第946条

算学与辩证，皆为高智之器；施用之际，若辩士之雄谈，乃成妙艺。二者重形而轻质：算学不论数值贵贱，修辞岂分正邪？于彼皆无关宏旨。

——歌德

《散文箴言》，“自然”卷四，第九百四十六条