=1434.=

几何学家常用于完成最难证明的那些冗长推理链条，全然简单易懂。这让我想到：人类心智可认知的一切事物，或许都能以类似方式联结；只要小心不把非真之物当作真理，始终谨慎保持从一个真理推导出另一个真理所需的秩序，就没有什么真理是最终无法企及的，也没有什么隐秘是无法被发现的。

——勒内·笛卡尔

《方法谈》第二部分；《笛卡尔哲学》[托里编]（纽约，1892），第47页

几何家证题，恒用长链之理，虽繁而简，虽奥而明。由此观之，凡人心可喻之物，皆可类通。但守其诚，辨其伪，循次而进，无使差忒，则幽远之理可致，隐秘之奥可彰，虽极深研几，终无不可达者。

——勒内·笛卡尔《方法谈》第二部分；《笛卡尔哲学》（托里编，纽约，一八九二年）第四十七页

=1435.=

若有人想以数学方式撰写形而上学或伦理学着作，理论上并无不可。确有人宣称这样做过，甚至承诺在数学领域之外提供数学证明，但成功案例寥寥。我认为这是因为：为少数读者付出必要的心血会让人却步——正如佩尔西乌斯所问：“谁会读这些？”答案只能是：“至多两人，或无人。”

——戈特弗里德·莱布尼茨

《人类理解新论》[兰利译]，第二卷，第二十九章，第12节

若欲以算学之法，着形上、伦理之论，非不可为。往有尝试者，且扬言欲广算学之证法于他科，然鲜有克成者。盖此道繁重，而览者寥寥，诚如佩尔西乌斯所叹：“谁其阅之？”应之曰：“或二或无。”是以难竟其功也。

——戈特弗里德·莱布尼茨《人类理解新论》（兰利译）第二卷第二十九章第十二节

=1436.=人们通常认为，数学与哲学的区别在于研究对象：前者处理“量”，后者处理“质”。这完全是错误的。两学科的差异不取决于对象，因为哲学适用于一切事物（包括“量”），数学也部分涉及质——万物皆有量。二者的本质区别仅在于理性知识的类型或理性应用的方式：哲学是“从纯粹概念而来的理性知识”，而数学则是“通过概念构造而来的理性知识”。

所谓构造概念，是指先天地在直观中呈现概念（无需经验），或在直观中呈现与概念对应的对象。数学家从不将理性仅运用于概念，哲学家也不处理概念的构造。数学中理性的运用是“具体的”，但其直观并非经验性的，而是先天沉思的对象。

由此可见，数学相较哲学有一优势：前者的知识是直观的，后者则仅是“推论性的”。而数学更多处理“量”的原因在于：量能被先天地在直观中构造，而质却无法在直观中被表象。

——伊曼努尔·康德

《逻辑学》[哈滕斯坦编]（莱比锡，1868），第八卷，第23-24页

世多言算学、哲学之别，在于所究之物：前者主量，后者主质。此说非也。二学之分，不在其物。盖哲学无所不究，算学亦涉于质，以万物皆有量故也。其根本之异，乃在致知之途、用思之法：哲学者，据纯理以推；算学者，构概念而证。所谓构念者，乃先天直观以显其象，不假经验；或呈物之象，以合于念。算家不滞于空论，哲士不务于构象。算学之思，寓于形器；其观物也，虽为直观，然本于先天。由此观之，算学之优，在于直观；哲学之征，存乎推衍。算学重“量”者，以量可先天而构，质则难直观以显故也。

——伊曼努尔·康德《逻辑学》（哈滕斯坦编，莱比锡，一八六八年）第八卷第二十三至二十四页

=1437.=康德将人类观念分为“量”与“质”两类，若此说成立，则数学的普遍性将被颠覆；但笛卡尔关于数学中具体与抽象关系的基本构想，否定了这种划分，并证明所有关于“质”的观念均可还原为“量”的观念。笛卡尔最初仅关注几何现象，但其后继者将这一概括先扩展至力学现象，近年又纳入热现象。如今所有几何学家都认为这一原则具有普适性，并承认：任何现象若能被发现并分解，理论上都可像曲线或运动那样用方程逻辑化表达——尽管我们远未完全具备这种能力。

因此，数学科学的局限并非源于其本质，而是受制于人类智能：随着现象趋于特殊化，其复杂性也相应增加，数学的研究领域便会显着受限。

——奥古斯特·孔德

《实证哲学》[马蒂诺译]，第一卷，第一章

康德尝分人类之念为“量”“质”二类。设其说确然，则数学之普适性将毁。然笛卡尔论数学中具象与抽象之关联，破此藩篱，证凡“质”之念，皆可归于“量”。笛卡尔初仅论几何之象，后学推而广之，先及力学，近纳热学。今之几何家，莫不以为此理放之四海而皆准，谓凡现象皆可如曲线、运动，以方程表之。特以吾人智识未逮，未能尽穷其奥耳。

数学之限，非在其道，而在吾人之智。盖现象愈专，则愈繁，数学之所及，亦愈隘也。

——奥古斯特·孔德《实证哲学》（马蒂诺译），第一卷，第一章

=1438.=数学科学相较道德科学的一大优势在于：前者的观念具有可感性，始终清晰明确，细微差异可即刻辨识，且相同术语始终表达相同观念，无歧义或变化。椭圆不会被误认作圆形，双曲线也不会与椭圆混淆。等腰三角形与不等边三角形的区分边界，比美德与邪恶、正确与错误更为精确。几何中若对某术语下定义，人们会自觉在所有情境中以定义代指被定义物；即便未下定义，对象本身也可通过感官呈现，从而被稳定清晰地理解。

但心智的微妙情感、理解的运作过程、激情的各种波动，虽本质上彼此有别，却在反思审视时极易被忽略；我们也无法在需要思考时随时召回原始对象。由此，歧义逐渐渗入推理：相似对象易被视作同一，最终结论便与前提相去甚远。

——大卫·休谟