2109.格雷戈里·圣文森特是最厉害的化圆为方研究者，他的研究让他发现了很多真理：他找到了双曲线弧的性质，后来纳皮尔的对数也因此被称为双曲对数。蒙图克拉提到他时，说得既巧妙又实在：从来没有人能凭着这么高的天赋去研究化圆为方，而且除了他的主要目标没实现，其他方面的成就都这么大。——德·摩根，A.《悖论集锦》（伦敦，1872），第70页。

格雷戈里·圣文森特，乃最杰出之化圆为方研究者，其研究使他发现诸多真理：他找到双曲线弧之性质，后纳皮尔对数因此被称为双曲对数。蒙图克拉言及他，语带巧妙而实在：从未有人凭如此高天赋研化圆为方，且除主要目标未达，其他方面成就斐然。——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），七十页。

2110.我学到几何的时候，知道了有一个命题，几百年来人们一直在找它的证明方法，我就忍不住想试试自己能不能找到。要是我承认直到现在还坚信自己成功了，你大概会觉得我很傻吧。——波尔查诺，伯纳德。《自传》（维也纳，1875），第19页。

吾学几何时，知有一命题，数百年间人皆求其证明，吾不禁欲试己能。若吾坦言至今仍信己成功，君或谓吾愚也。——波尔查诺，伯纳德。

《自传》（维也纳，1875），十九页。

2111.《平行线理论》

众所周知，要完善这一理论，只需证明以下命题，而欧几里得将其作为公理假定：

命题：若两条直线Ec和db与第三条直线cp所形成的内角EcF和dbc之和小于两个直角，则这两条直线若充分延长，必将相交。

[插图：一幅用于辅助证明的平行线和相交线几何图]

证明：作pcA等于cbd的补角pbd，再作EcF、FcG等角，每一个都等于AcE，这样AcF=2·AcE，AcG=3·AcE，依此类推。那么，无论角AcE有多小，总存在某个数n，使得n·AcE=Ach等于或大于Acp。

再者，取bI、IL等线段，每一段都等于cb，并作IK、L等与bd平行，那么图形Acbd、dbIK、KIL等都是全等的，且AcIK=2·Abcd，AcL=3·Acbd，依此类推。

取A·Acbd，其中n与表达式A·A取值相同，那么Ao必然小于Acp，因为Ao必须加上oNp才能等于Acp。由此可知，Ao也小于Ach，取两者的n分之一，可得Acbd小于AcE。

但如果AcE大于Acbd，那么cE和bd必定相交，因为否则的话，AcE就会是Acbd的一部分。

——《数学杂志》，第2卷（1834年），第198页

《平行线论》

盖欲完此论，唯证一义足矣，欧几里得尝以之为公理：

题曰：两线Ec、db与第三线cp所成内角EcF、dbc，其和若小于二直角，则两线延长之，必相交。

[图注：绘平行线与相交线，以辅证]

证曰：作pcA等于cbd之补角pbd，复作EcF、FcG诸角，各等于AcE，使AcF=2·AcE，AcG=3·AcE，余类推。然则无论AcE多微，必有数n，使n·AcE=Ach，或等于Acp，或大于之。

又取bI、IL诸段，各等于cb，作IK、L平行于bd，则形Acbd、dbIK、KIL皆全等，且AcIK=2·Abcd，AcL=3·Acbd，余类推。

取A·A与A·A同，则Ao必小于Acp，因Ao必加oNp乃等于Acp。由此知Ao亦小于Ach，取其n分之一，则Acbd小于AcE。

若AcE大于Acbd，则cE与bd必相交，否则AcE将为Acbd之一部。

——《算学杂志》二卷（1834年），百九十八页

2112.你确定用欧几里得的方法无法三等分角吗？我不必为尝试此事白费哪怕一小时而懊悔，但我觉得，我们认为这件事做不到，更多是一种直觉、一种感觉，而非有确凿的证明。不过，一个世纪前，高斯用直尺和圆规作出正十七边形，在当时看来，不也几乎是不可能的吗？——汉密尔顿，w.R.

《致德·摩根的信》（1852年）

子果信欧几里得法不能三分角乎？吾未尝以试此而悔掷寸阴，然觉世人谓其不可，多出于直觉，非有确证。昔高斯以规尺作十七边正形，百年前视之，不亦类于不可能乎？——哈密尔顿《与德摩根书》（1852年）

2113.这些几何悖论案例中，有一个颇为奇特：弗吉尼亚大学的一名学生（我不确定是不是毕业生）声称，几何学家们假定直线没有厚度是错误的。他基于自己的观点出版了一本学校几何学教材，还得到了纽约一位知名教育官员的认可，并且凭借这一点，这本书差点就被纽约的公立学校采纳为教科书。

——纽康姆，西蒙《天文学家回忆录》（波士顿与纽约，1903年），第388页

几何悖论中，有一事甚奇：弗吉尼亚大学一士（未知是否及第），谓几何家假定直线无厚为谬。遂据己说撰《几何学》，得纽约名学官之许，几为纽约官学所采。

——纽康姆《星历家忆录》（波士顿、纽约，1903年），三百八十八页

2114.直线和圆最显着的区别是什么，又是什么让它们在初等几何中得以明确区分？是它们的自相似性。直线的每一寸都与其他任何一寸重合，圆的每一段弧都与同圆的其他任何一段弧重合。那么，欧几里得的不足在哪里呢？在于他没有引入具有同样性质的第三种曲线——螺旋线。直线、圆、螺旋线——它们分别代表平移、旋转以及两者的结合——本应成为几何学的工具。要是有了螺旋线，我们就绝不会听说三等分角、化圆为方等问题是不可能的了。——德·摩根，A.引自格雷夫斯《w.R.汉密尔顿爵士生平》第3卷（纽约，1889年），第342页

直线与圆，何者最别？何以于初等几何中分判明晰？盖其自相似也。直线寸寸相契，圆孤段段相合。欧几里得之阙，在未引入第三类曲线——螺线，其性亦同。直线、圆、螺线，各表平移、旋转及二者之合，当为几何之器。若有螺线，必不闻三分角、化圆为方等事之不可也。——德摩根引自《哈密尔顿爵士传》三卷（纽约，1889年），三百四十二页

2115.唯有疯狂的数学不受束缚，

它太过癫狂，世俗的锁链无法将其捆绑，

时而凝视纯粹的空间，欣喜若狂，

时而绕着圆奔跑，却以为找到了方形。

——蒲柏，亚历山大《愚人志》，第4卷，第31-34行

唯狂算不羁，

疯甚难羁以俗链，

时凝太空目狂喜，

旋绕圆周谓得方。

——蒲柏《愚士篇》四卷，31-34句

2116.或者，这是不是一个刁钻的想法，想借此获得优势，

让务实的灵魂保持活跃，

就像那珍贵的化学粉末，或是令人困惑的化圆为方问题？

——夸尔斯，菲利普引自德·摩根《悖论集锦》（伦敦，1872年），第436页