汉密尔顿的伟大悖论是谓词的量化；一个听起来吓人的短语，但很容易解释。我们都知道，当我们说人是有理性的动物时，这个在措辞上完全没有量化的形式，我们指的是所有人，但不是指所有有理性的动物：它是有些或全部，就这个命题本身而言，有些可能就是全部。这个有些可能是全部就我们所言，或者说非全无，就是逻辑学家所说的有些。人们会以为{333}所有人是有些有理性的动物本该一直是逻辑上的表述方式：但谓词从未被量化过。少数提及这种可能性的人找到了不采纳它的理由，除了那个重要的理由，即亚里士多德没有采纳它。因为亚里士多德在古代在物理学或形而上学领域的统治，远不如他在逻辑学领域直至我们这个时代的绝对统治。逻辑学家们知道，在命题所有人是有理性的动物有理性的动物不是全称的，而是特称的，但没有人敢说所有人是有些有理性的动物，并发明有些有理性的动物是所有人这样的短语，直到汉密尔顿跃过了这道沟壑，不仅完成了一个表述体系，而且将其应用于三段论。

我自己的情况和他一样奇特：我提议将数学思维引入逻辑学，其程度让老派人士惊呼：

圣亚里士多德啊！多么疯狂的念头！

给他发个禁止出境令{710}吧！

大约二十年前，一位在这些领域地位很高的朋友兼对手（他远不像大多数人那样是亚里士多德和既定体系的宗派分子）给我写了如下的话：据说，仅次于塑造民族品味的人，最伟大的天才是败坏民族品味的人。因此，当我说我迄今一直将您视为一位伟大的逻辑异端首领时，我并非不敬，恰恰相反。柯勒律治说他认为这话是乔舒亚·雷诺兹爵士说的：对此，借用我曾听过的一句自相矛盾的话，我无法否认，因为他说这话时我不在场。我的朋友并没有召唤我悔改并与教会和解：我想他猜到我是一个不可救药的罪人。我那时的过错还算小：我继续构建三段论体系，全都与普通逻辑学不同，直到我有了六个体系，我起初给它们起的名字的首字母组合起来，{334}在我看到它们会组成什么之前，就排除了所有悔改的可能，因为组成了

RUENot！（勿悔！）

而让旧学派的追随者可以选择这样排列字母：

tRUE?No！（真的？不！）

然而应该说明，问题不在于绝对的真假。没有人否认我称之为推理的任何东西是推理：他们说我的改动是逻辑之外的；它们是实质的，不是形式的；而逻辑学是一门形式的科学。

在不需要通常的曲解的情况下，实质与形式的区别很容易说明。一个形式是一个空的机器，例如每一个x是Y；它可以填入实质，如每一个人是动物。逻辑学家们不愿看到他们的形式命题每一个x是Y在三个点上是实质的：断言的程度、命题的量以及系词。纯粹的形式命题是存在概率[alpha]使得x与Y处于关系L中。总有一天，人们会为逻辑学在两千年中没有悖论者而感到遗憾：并且许多关于形式与实质区别的论述将成为笑柄。

我按照上面首先写出的字母顺序，给出每个体系的一个式（格）的实例。

关系逻辑——在这个体系中，采取的是形式关系，即系词可以是任何关系。作为一个实质例子，其中关系是血缘关系（指人的），取以下推理：x是Y的兄弟；x不是Z的叔叔；因此，Z不是Y的孩子。关于关系及对其扩展的反对意见的讨论，见《剑桥哲学会刊》第十卷，第二部分；这是一篇晦涩难懂的大杂烩。

未定逻辑——在这个体系中，一个前提的成立，以及对另一个前提无能为力，可以推断出对某个结论无能为力。{335}例如：有些人不能推究后果；我们不能确定存在对后果负责却不能推究后果的存在者；因此，我们不能确定所有人都要对自己行为的后果负责。