661

321

156

76

37

18

9

5

2

1

5834

---

9265

{212}

1.取任意直径，将其加倍，取这个加倍的量的1\/3，取上一步结果的2\/5，再取上一步结果的3\/7，再取上一步结果的4\/9，再取上一步结果的5\/11，依此类推。所有这些结果的总和就是该直径对应的圆周长。前面展示的是当直径为一亿时的计算过程；通过以十亿为基础进行计算并舍去一位数字，减少了舍去分数所产生的误差。这里，200等是直径的加倍；666等是200等的1\/3；266等是666等的2\/5；114等是266等的3\/7；507等是114等的4\/9；依此类推。

2.将3的平方根加上它自身的一半。取这个和的_一半_的1\/3；取上一步结果的2\/5的一半；取上一步结果的3\/7的一半；依此类推。所有这些结果的总和就是直径为1时的圆周长。

（此处计算过程保留）

3的平方根....1.

.

------------

2.

.

.0

5047

1188

281

67

16

4

1

------------

3.

3.取?的平方根；取(1+上一步结果)的一半的平方根；取(1+{213}上一步结果)的一半的平方根；依此类推，直到我们得到的数值尽可能接近1（受所选数字位数限制）。将所有结果相乘，然后用2除以这个乘积：所得的商就是直径为1时圆周长的近似值。以四位有效数字为目标，即计算到五位数字以确保第四位的准确性，我们得到.作为?的平方根；.作为(1+.)的一半的平方根；依此类推，接着是.,.,.,.,.,.。这八个结果的乘积是.；用2除以这个数，商是3.1413...，其中前四位数字是正确的。如果乘积是....而不是....，那么阿基米德的着名结果22\/7就会完全准确。奇怪的是，没有一位方圆研究者坚持认为阿基米德完全准确地得到了这个值。