——约翰·阿布斯诺特《数学学习之实用性》

451.当少年开始理解可见的点之前存在着不可见的点，理解两点间最短距离在被铅笔绘制于纸面之前就已被构想为直线时，他会体验到自豪与满足。这理所当然，因为思想的源泉已向他敞开，理想与现实、潜能与实现之间的区别对他变得清晰；从此哲学家再难向他揭示新的本质，作为几何学家的他已发现一切思维的根基。——歌德《散文格言·伦理篇》第六卷，第455条

童子若悟：未形于目之点，先存于思；未绘于纸之直线，已具于理，则必欣然有得，志意自豪。诚宜然也！盖此乃启其灵府之源，使明理想与实境、潜能与成就之别。自此以往，虽哲人妙论，亦难示以全新之精要，以其身为几何家，已得万虑之根矣。

——歌德《散文格言·伦理篇》第六卷，第455条

452.在数学......以及数学应用之后的自然哲学中，我们见证了人类心智力量的最崇高例证，以及通过修养可能达到的卓越高度。熟悉这些科学会自然引导我们正视自身才能，并对其他知识领域的进步抱有乐观期待。此外，由于数学与物理真理在推论上完全客观，理解力会轻易接受呈现的证据；这种方式可望养成信赖自身结论的习惯，从而在后续追求更富意义的道德真理时，增强抵御怀疑主义弱点的能力。——杜格尔德·斯图尔特《人类心灵哲学》第三部第一章第3节

数学及其所用之自然哲学，诚人类心智伟力之极显，亦修养所臻之高境也。熟稔此学，则能自审其才，于他学之进亦怀乐观。且数理物理之真，推论皆本于客观，故智府易信其证。由此渐成自信其断之习，他日求道德之真，亦能免惑于怀疑之病矣。

——杜格尔德·斯图尔特《人类心灵哲学》第三部第一章第3节

453.那些能轻松驾驭数学难题的人，会在这门学科的研究中发现巨大的魅力，有时甚至达到着迷的程度。这种感受虽非人人皆有，但数学确实蕴含着构成知识愉悦感的强烈兴趣元素。那些解决问题的精妙方法，会因智力上的成就感而令心灵振奋；而这门科学无穷无尽的构造，更让我们在惊叹中流连忘返。——亚历山大·贝恩《作为科学的教育》（纽约，1898年），第153页

夫善解算学难题者，于斯道钻研之际，常觉妙趣无穷，甚至心醉神迷。虽此乐非常人可得，然算学之中，实含致知悦情之趣。其解题之巧法，能畅神思于智成之境；其理法之渊深，可使学者流连赞叹，忘乎所以。

——亚历山大·贝恩《作为科学之教育》（纽约，1898年），第153页

454.思考不过是比较观念，辨别异同并推导结论的过程。它是基于清晰认知的具体事例来把握普遍真理，本质就是归纳与演绎。谁能否认孩子能从这样的思维序列中获益：2颗弹珠加3颗弹珠是多少？2支铅笔加3支铅笔？2个球加3个球？2个孩子加3个孩子？2英寸加3英寸？2英尺加3英尺？2加3？谁不曾见过某个小学习者在这系列问题结束时恍然大悟地欢呼：原来永远都是这样啊！不是吗？这正是自主完成归纳步骤时产生的喜悦光芒。这种源自我能独立突破的真实生命欢愉，其发现的价值与对思维产生的持久影响，正如牛顿顿悟万有引力定律时那般确凿。正是这些发现的震颤孕育并滋养了求知之爱与智识快乐。优秀的算术教学应当充满这样的契机。——乔治·迈尔斯《公共教育中的算术》（芝加哥），第13页

夫思者，比类辨异、推求至理之谓也。盖以具体之例，探天下之通则，此即归纳演绎之要旨。试观童子，屡算二珠加三珠、二笔加三笔、二儿加三儿，乃至二加三之数，终而豁然有悟，欣然叹曰：“固如是也！”此乃自悟归纳之乐，其欣喜之情，与牛顿悟万有引力之妙，虽事殊而理一。此等灵明之悟，正滋育向学之心、启智之乐。善教算术者，当广设此等悟境。

——乔治·迈尔斯《公共教育中之算术》（芝加哥），第13页

455.数学通识课程应作为所有军官的必修科目，不仅因其实用价值，更因其教育价值——它能训练逻辑思维方式，培养绝对诚实的品质，以及通过明确方法达成确定结果的信心。——c·p·埃科尔斯《西点军校与安纳波利斯海军学院的数学教育》；美国教育局公报1912年第2期，第11页

算学通识，宜为诸将校必修之业。非独因其致用，更因其可炼逻辑之思，养诚笃之德，增循法致果之信。

——c·p·埃科尔斯《西点军校与安纳波利斯海军学院的数学教育》；美国教育局公报1912年第2期，第11页

456.在最严密的思维训练中，求真的本能会自然增强。因为每一次辨别正误思维能力的提升，每一种促进思维严谨性的习惯，都将使优秀学子更愿也更能探求生活中的真理并扞卫它。——F·莱特《高等数学教学指导》（柏林，1906年），第28页

若精研严密之学，其求真之心自当益固。盖每辨是非、每砺思维，皆能使学者益慕真理、勇于扞卫。

——F·莱特《高等数学教学指导》（柏林，1906年），第28页

457.我并不认为算术学习的主要价值在于其中蕴含的道德教育。我只主张：通过日复一日地让学生深刻体会到——对于他们能够解决的问题，总存在某个正确答案和错误答案；存在某些方法能确证答案的正确性，这些方法会自动排除谬误与粗疏；学习者能够自主运用这些方法得出真理而非谬误。这种严格遵循准则、坚守界限的过程，必然会在学生思维中留下超越浅层影响的鲜明道德印记......与真理为邻，在辨识和确证正确事物时游刃有余，目睹谬误被持续而彻底地摒弃，感受到能独立运用这些方法进行思考——这些都将对道德品格产生真实、积极且纯净的陶冶作用。教学工作中真正重要的，是那些始终以平和坚定的方式唤起学生理性认同的潜移默化之力。最终在性格上留下最持久深刻烙印的，并非喧闹激烈的训导，甚至不是教师讲台上的戏剧化表演或雄辩，而是这些为真理发声、与谬误抗衡的沉静而强大的力量。倘若按学科对道德人格的塑造力来排序，优秀的算术课程必居前列。——乔治·迈尔斯《公立教育中的算术》（芝加哥），第18页。

余未尝以算术之要，在于育德也。然日课算学，使学子深知：凡可解之题，必有正误之分；亦有证确之法，可祛谬除疏，而学者自能循法得真。如此守正循规，必于其心镌以深厚之德印。与真理相伴，明辨是非，祛妄存真，又能独运其法，此皆可润德养心，纯净无杂。夫教之至要，非喧嚣之训诫、炫技之讲说，乃以静笃之力，默化其心，令其自悟。若论育德之功，善教算术者，必列前茅。

——乔治·迈尔斯《公立教育中之算术》（芝加哥），第18页