——《数学与自然科学教学杂志》（1904年），第128页

505.数学教学的目标更应是强化学生的思维能力，提供适用于其他学科的推理方法，而非仅作为解决实际问题的工具。

——菲利普·马格努斯（引自佩里《数学教学》，伦敦，1902年，第84页）

数学之教，重在强其心智，授以推证之法，以通他学，非仅为解务之器也。

——菲利普·马格努斯（引自佩里《数学教学》，伦敦，1902年，第84页）

506.数学教学的核心目标必须是参与心智能力的普遍发展，而非局限于学生未来的职业需求。

——F.赖特《高中数学教学指南》（柏林，1906年），第12页

数学施教，其本在于广育心智，不可拘于后日职业之需。

——F.赖特《高中数学教学指南》（柏林，1906年），第12页

507.我坚定认为，数学教学的首要目标是深刻理解并完全掌握抽象数学理论，同时清晰洞察其体系结构。只要教学实现这一点，即便忽略实际应用，其价值与趣味性依然不可否认。若教学能磨砺理解力、激发科学兴趣（无论是数学还是哲学），甚至唤起对科学体系之美的审美感受，那么当这种兴趣进一步转化为科学活动的动力时，教学便具备了道德价值。因此，我主张即使不考虑应用，高中数学在中学课程中的价值也与其他学科同等重要。

——E.格廷《论高级实科中学数学教学目标》；《德国数学家协会年报》第2卷，第192页

余深信，数学之教，首在通彻玄理，洞明体系。虽略于致用，其功趣亦不可掩。若能砺智启趣，或引其赏数理之美，更化为研学之志，则德育自在其中。故曰：纵使遗其用，高中数学于庠序之位，亦与他科齐重。

——E.格廷《论高级实科中学数学教学目标》；《德国数学家协会年报》第2卷，第192页

508.只有当学校不再仅教授数学的皮毛，并消除“数学仅用于形式化思维训练”这一错误观念时，数学才能在更广范围内得到应有的重视。数学的意义在于其内容，形式只是次要考量，且未必非得沿袭受希腊逻辑影响而形成的历史形式。

——h.汉克尔《近几个世纪数学的发展》（蒂宾根，1884年），第6页

唯庠序不囿于数学之浅，破“数学仅为练思之具”之谬见，数学乃得众重。盖数学之要在其理，形次之，且不必泥于希腊旧制。

——h.汉克尔《近几个世纪数学的发展》（蒂宾根，1884年），第6页

509.认为数学天赋比其他学科天赋更罕见的观点只是一种错觉，这种错觉是由初学者起步过晚或被忽视造成的。——赫巴特，《教育学讲座纲要》；《着作集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1902年），第10卷，第101页。

世人或谓数学之资，较诸他学尤为罕觏，此乃虚妄之见也。究其根源，盖因蒙童启蒙过迟，或未得悉心教诲耳。

——赫巴特，《教育学讲座纲要》；《着作集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1902年），第10卷，第101页

510.我相信数学的实用方法很容易被年轻人掌握，就像语言在年轻时容易学习一样。几乎每种语言的每个词背后都有惊人的哲学和历史——但儿童却能无意识地学会使用这些词。当这些词最初被发明时，人们肯定像现在讲解比率概念或笛卡尔坐标用法一样对它反复研究和讲授。未来的儿童必将像现在学习算术一样自然地掌握微积分思想和使用方格纸……当埃及和迦勒底哲学家耗费多年进行如今儿童都能轻松完成的艰难计算时，他们对自己知识深度的认知，想必与现在的威廉·汤姆森爵士无异。为何汤姆森在迦勒底先贤只够学会基础算术的时间里，就掌握了如此广博的知识？答案很简单：汤姆森童年用几年就学完了三千年前人类对数字性质的全部认知。当社会意识到必须为儿童大脑配备思维工具时，这些工具就被传授给他们；他们通过练习使运用工具成为第二天性，但直到成年后才会深入探究自己大脑中促成这一切的真正机制。儿童凭借强烈的信念接受知识，而成人则要反复验证才肯接受。随着时代进步，植入儿童大脑的思维工具日益复杂，但这些工具完全可以像古代迦勒底儿童学习公理那样，被现代儿童早早吸收并熟练运用。——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1902年），第14页。

余以为，数学之用，年少易习，犹语言之学于稚龄也。凡语言之字，皆涵哲思史迹，然童子不学而能。溯其初造字时，人必详究细讲，犹今之论比率、授坐标也。来日童子，亦必能如习算术般，自然通微积、用格纸。昔埃及、迦勒底诸贤，穷年累月，方就今童子易成之算；彼自矜其学，亦如今之威廉·汤姆森爵士也。然汤姆森何以能于迦勒底贤哲仅习算术之时，广涉博通？盖因其童年数载，已尽览三千年前数论之奥。夫世知育童当授以思维之器，则童子习之，渐成自然，虽至年长，始察其理。童子信而受之，成人疑而验之。时世日进，所授之器愈精，然今之童子，亦能如古迦勒底童习公理般，早悟而善用焉。

——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1902年），第14页

511.古人毕生钻研算术，开平方或两数相乘就需数日。让孩子跳过这些直接学习乘法表，从更高阶的抽象推理开始有何不可？何不让他们通过实践和部分信念先接受欧几里得《几何原本》前四卷命题，用简单代数理解第五卷，将第六卷视为公理？事实上，完全可以从现在学生通常结束的起点开始严格训练。我们早已做过更突破常规的事：数学学习中，我们常会做出极大假设，因为按部就班的研究在最迂腐的教师眼中都显得荒谬。如今学生轻松跨越的内容，本可能需要整年哲学研究才能掌握。现行数学教师培训方法让人纠结于蚊蝇小事（如《几何原本》第六卷不可公度量命题、几何中的算术应用、力的平行四边形法则等），却对骆驼般的重大问题囫囵吞枣。——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1904年），第12页。

古之学者，穷毕生之力研算术，开方、乘算，动需数日。今何不令童子越过此等，直习乘法之表，启其抽象之思？何不使彼由践履与笃信，先受欧几里得《几何原本》前四卷之命题，以简代数解第五卷，视第六卷为不证自明之理？实则，尽可自今之学者止境为始，严加训迪。吾辈尝为更越常规之事：学数学者，每作大胆之设，以循序渐进之法，虽迂腐之师亦觉荒诞。今之学子轻易而过者，往时或需经年究索。今之师训，多纠缠于细故（如《几何原本》第六卷不可公度之论、几何中算术之用、力之平行四边形之理），而于宏旨要义，反囫囵吞之。

——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1904年），第12页

512.基础数学教学应当为高等数学构建做好铺垫。教师须始终着眼后续发展施教。教授内容不应仅满足当下需求，而要避免为未来埋下隐患……我认为算术教学的弊端在于忽视通用原理而专注特定规则……我主张数学教学应更强调少数通用公理原则。——w.h.h.哈德逊，摘自佩里《数学教学》（伦敦，1904年），第33页。

基础数学之教，当为高深之学张本。师者授业，必瞻顾后学，所教之内容，不可仅图目前之便，更当杜未来之弊。窃以为，算术之教，其弊在于忽通则而泥成法。故主张数学之教，当重少数公理要则。

——w.h.h.哈德逊，摘自佩里《数学教学》（伦敦，1904年），第33页