他回答说：这是事实。

而我们的护卫者恰好既是军人又是哲学家。

格劳孔，那么为这门科学制定法律并说服那些即将从事最重要国家事务的人致力于计算并学习它，是恰当的，不是以普通的粗俗方式，而是为了通过理智本身来思考数字的本质——不是为了像焦虑的商人和零售商那样买卖，而是为了战争，也为了让灵魂获得一种从生成转向真理和真实存在的能力。

——柏拉图

《理想国》[戴维斯译本]，第七卷，第525页

1574.或问：算学当入治学之途乎？答曰：军将习之，以娴阵法；哲人习之，以窥真如。若昧于此道，则智思难明，终难达于妙理。

问者曰：善。

又曰：然城邦之守护者，兼具将略与哲思。

故曰：格劳孔，当立算学之规，劝治邦者精研此道。非为市井商贾锱铢之利，乃为战阵决胜，更为启迪灵智，使灵魂超脱幻相，直抵真理本源。

——柏拉图《理想国》（戴维斯译），卷七，页五百二十五

1575.算术与几何的科学层面，相较于社会从其普遍应用中所获得的巨大益处，更有助于规范人们的思维与观念。而这种作用无法通过实践在社会中传播，因为实践者无论多么熟练，对这门科学的了解并不比他们使用的工具更多。他们只是接受了科学工作者传授给他们的规则，却丝毫不探究这些规则所源自的原理。并且，规则越精确，探究原理的必要性就越小，因此，让他们将注意力转向基本原理也就越困难。所以，一个国家应当同时拥有科学型和实用型的数学家。

——詹姆斯·威廉姆森

《欧几里得原理与论文集》（牛津，1781）

算术、几何之学理，较诸其于世所用之利，更善规人心、正思虑。然此益非践行可广布于众。盖操术者虽巧，于学理之知，不逾其器。彼守成法于前贤，而弗究其本；法愈精，则求本之意愈怠，故欲其返观元始之理，难矣。是以一国之中，当兼蓄明理之硕学、致用之巧匠。

——詹姆斯·威廉姆森

《欧几里得原本附论》（牛津，乾隆四十六年）

1576.“没有可测量的东西，就没有可计算的东西”，因此在心理学研究中不可能应用数学。这是一个由固守惯例和表面真理构成的三段论。至于后者，“只有在我们已测量之处才能计算”的说法完全错误，事实恰恰相反。每一个假设的数量组合规律，即使被认为是无效的，也都可以进行计算。而对于深藏却重要的问题，必须尝试各种假设，并对其推导的结果进行精确计算，直到发现各种假设中哪一个与经验相符。因此，古代天文学家尝试用偏心圆，开普勒尝试用椭圆来解释行星的运动，后者在发现行星公转周期的平方与平均距离的立方一致之前，也对它们进行了比较。同样，牛顿尝试了引力是否与距离的平方成反比，足以使月球保持在绕地球的轨道上；如果这个假设不成立，他就会尝试距离的其他次方，比如四次方或五次方，并推导出相应的结果来与观测结果比较。这正是数学最大的益处，它使我们能够在拥有充分明确的经验之前，就考察包含实际情况的各种可能性范围；这使得我们可以利用非常不完整的经验迹象，至少避免最粗浅的错误。在金星凌日被用于测定太阳视差之前，人们就尝试确定太阳恰好照亮月球半圆面的时刻，以便从已知的地月距离计算日地距离。这是不可能的，因为由于心理学原因，我们的时间测量方法过于粗糙，无法给我们足够精确的所需时刻；然而，这次尝试让我们知道，日地距离至少是地月距离的几百倍。这个例子清楚地表明，即使在无法进行精确观测的情况下，对一个量的非常不完美的估计，只要我们知道如何利用它，也可能变得很有启发性。难道必须先知道我们太阳系的规模，才能了解其总体秩序吗？或者，从另一个领域举例，难道必须先确切知道一个物体在某个确定地点一秒钟下落多远，才能研究运动定律吗？完全不是。这种对基本量的测定本身极其困难，但幸运的是，这类研究自成一类；我们对基本定律的了解不必等待这些测定。当然，计算促使人们去测量，而某些量的每一个容易观察到的规律性，都是数学研究的动力。

——J.F.赫尔巴特

《着作集》[克尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890），第5卷，第97页

或曰：“无度则无算。”故以数学入心理之研，必不可得。此说拘于旧例，貌似确论，实则大谬。夫算者，非独因度而生；即虚设之数量之律，纵有未验，亦可推演。至若幽隐要旨，必假众说，精算其果，以合于实。古之天学家试以偏心圆解星行，开普勒以椭圆推之；又比行星周时之平方、距日之立方，终得妙合。牛顿亦验引力与距之方反比，若未合，则将更试他数。此数学之大用也：使吾人未备实证，先穷众理，避妄求之失。昔人未借金星凌日测日距，尝欲据月望之刻，推日地之遥。然测时之术未精，所求难确；然由此知日远于月者，数百倍计。由此观之，量虽未精，若善推求，亦足发蒙。岂必先知太阳系之广袤，而后明其序？亦岂必先知落体之数，而后究运动之律？非也。盖求度量之基，事固繁难；然探理之本，不待于此。算学促人考度，而物之常则，又启算学之思，二者相济也。

——J.F.赫尔巴特

《文集》（克尔巴赫编，朗根萨尔察，光绪十六年），第五卷，九十七页