——本杰明·皮尔斯

《论线性代数的用途与变换》；《美国数学杂志》第4卷（1881），第216页。

符号√-1，于四元术中专指垂直之象，严而有界。此空间之妙算，赖其特用，方得对称、雅洁而力雄。四元术之不朽创立者证之：此符号于他境亦可别赋新义。然其最着之能，在以神妙之力，令实有宇宙翻倍，旁立理想之宇，与之对映。二宇既可比照，复以奇纽相连，成一有机体。近世分析之学，由此衍出超绝几何。

——本杰明·皮尔斯

《线性代数用变论》；《亚美利加算学杂志》第四卷（1881），二百十六页。

=1734.对“不可想象之物”（虚数）的构想——对这种不仅不存在、更不可能存在之物的度量——是人类智力最杰出的成就之一。无人能否认这类想象确实属于“虚构”，但其导向的成果比诗人想象的任何产物都更宏伟。虚数演算是开启物理科学的关键钥匙之一。这些“不可想象之境”在许多领域成为我们通向实证知识的唯一路径。正是虚数演算为光本身驱散了黑暗，而在所有关于电、磁、热及其他微妙物理现象的现代研究中，它们都是最强有力的工具。

——托马斯·希尔

《北美评论》第85卷，第235页。

构画不可思之物（虚数），量度既非实有、更不可有者，乃人智之至伟功也。谁能否此等玄想之为？然其所臻之境，远迈诗人幻域。虚数之算，实为格物之要钥。此不可思之域，多为通实证之唯一津梁。光本在幽，赖虚数之算而得明；近世研电、磁、热及诸微妙物理者，皆恃之为利器。

——托马斯·希尔

《北美述评》第八十五卷，二百三十五页。

=1735.虚数在几何学中的所有有效应用，都遵循“从实数开始、以实数结束，仅在中间步骤使用虚数”的模式。在这类情形中，论证的起点与终点都具有真实的空间解释（这也是空间解释唯一重要的环节）；中间过程则纯粹以代数方式处理代数量，可进行任何代数允许的运算。只有当最终结果具备空间解释可能时，其结论才可被视为几何命题。其他情形下使用几何语言，只是辅助想象的便捷手段。例如，提及与“圆环点”相关的射影性质，本质上是用纯代数性质的助记符号——圆环点并非真实存在于空间中，而是几何方程变换时引入的辅助量。虚数的几何解释不产生矛盾并不奇怪：因为其解释完全遵循代数规则，而我们已认可这些规则在虚数范畴内的有效性。当空间感知完全让位于代数时，代数规则主宰一切，自然不会出现矛盾。

——伯特兰·罗素

《几何学基础》（剑桥，1897），第45页。

虚数于几何之用，凡有效者，必始于实数，终于实数，唯中程用之。此时也，论之始终皆有实空间之解（此乃空间解释唯一要处）；中程则纯以代数术理代数式，凡代数所许，皆可为之。唯终果可解为空间者，其论方得称几何。他时用几何语，不过便忆助想耳。譬如言圆点之射影性，实乃代数性之记法——圆点非在空间，唯是变易几何方程时之助量。虚数几何解之无悖，不足怪也：因其解尽循代数之规，而吾辈既许代数之则可行于虚数。空间之觉既泯，代数主之，自无抵牾。

——伯特兰·罗素

《几何原本》（剑桥，1897），四十五页。

=1736.事实上，若将代数理解为对各类复合量（无论有理数、无理数还是空间量）应用算术运算的学问，那么印度的博学婆罗门才是代数的真正发明者。

——赫尔曼·汉克尔

《古代与中世纪数学史》（莱比锡，1874），第195页。

若以代数为算术施于诸复合量（无论有理数、无理数、空间量）之学，则天竺博学婆罗门，实为代数真发明者也。

——赫尔曼·汉克尔

《古今算学史》（莱比锡，1874），一百九十五页。

=1737.值得注意的是，印度数学对现代科学的渗透程度极深。现代算术与代数的形式和精神本质上属于印度而非希腊传统。

——F.卡乔里

《数学史》（纽约，1897），第100页。

印度算学入今世之学，深矣。近世算术与代数之体与神，本出印度，非希腊也。

——F.卡乔里

《算学史》（纽约，1897），一百页。

=1738.代数学中存在许多问题，学者们到现在都没能成功解决。他们在着作中列出了其中一些问题，目的是证明这门学科存在难点：既要让那些声称“代数中没有超出他们能力范围的东西”的人闭嘴，也要提醒数学家不要试图回答所有被提出的问题，还要激励有才华的人尝试解决这些问题。我从这些问题中选了七个：

1.把10分成两部分，使得每一部分加上它的平方根，然后把这两个和相乘，乘积等于原来设定的数。

2.哪个平方数，当它加上10或者减去10时，得到的和与差都是平方数？

3.有个人说，他欠扎伊德10，除了欠阿米尔的钱数的平方根；他欠阿米尔5，除了欠扎伊德的钱数的平方根。

4.把一个立方数分成两个立方数。

5.把10分成两部分，使得每一部分除以另一部分，再把两个商相加，和等于其中一部分。

6.存在三个成等比数列的平方数，这三个数的和也是一个平方数。

7.有一个平方数，当它加上自身的平方根和2，或者减去自身的平方根和2时，得到的和与差都是平方数。

——《算术精要》

（代数学内容，引自赫顿《哲学与数学词典》伦敦，1815年，第一卷，第70页）

代数学中，多有难题，学者研之至今，终未得解。彼于着述中列此数题，盖欲明此学之艰：一使妄言代数无出己能之外者默然；二警算家勿轻诺解答一切所问；三励才俊之士图其破解。余择其七，列之于下：

1.分十为二，令各加其平方根，两和相乘，其积等于原数。

2.有某平方数，加十或减十，其和与差皆为平方数，求此数。

3.某人言：欠扎伊德十，唯除欠阿米尔之数的平方根；欠阿米尔五，唯除欠扎伊德之数的平方根。

4.将一立方数分为二立方数。

5.分十为二，令彼此相除，两商相加，其和等于其中之一。

6.有三平方数，成等比数列，且三数之和亦为平方数。

7.有一平方数，加自身之根与二，或减自身之根与二，其和与差皆为平方数。

——《算术精要》

（代数内容，引自赫顿《哲学与数学词典》伦敦，1815年，第一卷，第七十页）