1870.许多人了解数学，但很少有人懂得数学研究。因为，知道一些命题并从中做出一些浅显的推论，这往往是偶然的，而非通过某种可靠的程序方法，这是一回事；而清楚地了解这门科学本身的性质和特点，深入其最隐秘的部分，并从其普遍原理中获得启示，从而能够熟练地解决无数问题及其证明，这又是另一回事。就像大多数艺术家，通过一次又一次地临摹同一个模特，在绘画上获得了一定的技巧，但除了眼睛所看到的之外，对绘画艺术一无所知；同样，许多人读过欧几里得和其他几何学家的着作后，习惯于模仿他们，设计并证明一些命题，但对于解决更困难的论证和问题的最深刻方法，他们却完全无知。——J.c.拉法耶，《重心定理》（安特卫普，1632年），序言。

众人多识数学，然晓数学研究者鲜矣。盖知若干命题，偶得浅推论，非由确法，此一事也；明晓其学之性与质，探其奥蕴，由其通理而得启示，以娴解万千问题及证明，此又一事也。如多数画师，屡摹一像，虽得绘技，然于绘艺所知不过目之所见；众人读欧几里得及他几何家之书，仿而证数题，然于解难证之深法，全然无知。——拉法耶《重心定理》（安特卫普，1632年），序。

1871.根据所有合理的教育理论，平面几何的基础知识都应该先于代数学习。几何更基础、更具体，它研究的是事物及其关系，而非符号。——N..巴特勒，《教育的意义等》（纽约，1905年），第171页。

依合理之教育理论，平面几何之要，当在代数之先。几何更本、更实，所究者事物及其关系，非符号也。——巴特勒《教育之意义》（纽约，1905年），页一百七十一。

1872.几何学之所以不如代数学难，原因在于其所用符号的一般性较弱。在代数中，要证明一个关于数的一般性命题，会选取可代表相关任何数的字母，而论证过程非但不会借助特例，甚至要求：除非符号的一般性与论证的一般性相当，否则即便推理本身具有一般性，也不能算作确凿无疑……相反，在几何学中，至少在基础部分，任何命题都可以通过对某一具体例子的推理来可靠地证明……此外，基础几何学的许多结论本身就能通过直观清晰地呈现，这也带来了一定便利，比如三角形两边之和大于第三边；而代数学中，许多基本命题无法从感官中获得佐证，例如a3?b3总能被a?b整除且无余数。——奥古斯塔斯·德·摩根，《论数学的研究与困难》（芝加哥，1902年），第13章。

几何之所以难于代数为逊，盖因其所用符号之通性较寡也。代数之中，欲证关于数之通命题，必取可代诸数之字母。其论证之道，非但不借特例，更要求：除非符号之通性与论证之通性相当，否则纵推理有通性，亦不可为确证……然几何之中，至少其初阶，任一命题皆可借某一特例之推理而确证之……且初等几何之结论，多可由直观自明，此亦一便也，如三角形两边之和大于第三边；而代数中，多基本命题非感官所能证，譬如a3?b3必可被a?b整除而无余。——德·摩根《论数学之研习与疑难》（芝加哥，1902年），第十三章。

1873.古代几何学的主要特征有：

（1）其概念异常清晰明确，结论的逻辑严密性近乎完美。

（2）完全缺乏一般性的原理和方法……在证明一个定理时，对古代几何学家而言，直线的位置不同，就构成不同的情形，每种情形都需要单独证明。最杰出的几何学家也认为，有必要对所有可能的情形分别处理，且每种情形的证明都要同样详尽。而想出能一次性解决所有不同情形的方法，是古代人力所不及的。——弗洛里安·卡约里，《数学史》（纽约，1897年），第62页。

古几何学之要征有二：

（1）其概念明析确定，结论之逻辑严谨几臻完美。

（2）全然无通理与通法……古之几何家证一定理，线之位置不同，则情形各异，每情形皆需别证。即至伟之几何家，亦以为必分别处理诸般可能情形，且每情形之证皆需详略相当。而欲得一法以尽解诸情形，非古人之能及也。——卡约里《数学史》（纽约，1897年），第六十二页。

1874.人们注意到，古代几何学家曾使用一种分析法来解决问题，只是他们不愿将这种方法的奥秘传给后人。——勒内·笛卡尔，《指导心智的规则》；《笛卡尔哲学》[托里译本]（纽约，1892年），第68页。

观古之几何家，尝用一分析法以解题，然吝于将其术传之后世。——笛卡尔《指导心智之规则》；《笛卡尔哲学》[托里译]（纽约，1892年），第六十八页。

1875.古代人研究几何，是针对特定的物体，或者说具体地研究；现代人研究几何，则是针对要考察的现象，或者说一般地研究。古代人在研究完一条线或一个面的所有性质后，才会转向另一条线或另一个面，而且每一项研究对下一项研究几乎没有帮助。自笛卡尔以来，现代人致力于研究与任何图形都相关的问题。他们会提炼出与同一几何现象相关的所有问题，单独进行研究，无论这些现象出现在何种物体中。由此，几何学家得以研究新的几何概念，将这些概念应用到古代人研究过的曲线中，发现了许多古代人从未想到过的新性质。——奥古斯特·孔德，《实证哲学》[马丁诺译本]，第一卷，第3章。