2029.试想凸面镜中的世界影像……一个制作精良、孔径适中的凸面镜，会把镜前的物体呈现为看似立体且固定在镜面后方的影像。但远处地平线和天空中太阳的影像，位于镜面后方有限距离处，这个距离等于镜面的焦距。在这些影像与镜面之间，是镜前所有其他物体的影像，只是这些影像会随着物体离镜面距离的增加而成比例地缩小、变扁……不过，外部世界中的每一条直线或每一个平面，在影像中都会由一条直线[？]或一个平面来呈现。一个人拿着尺子从镜面开始测量一条直线，他在影像中的样子会随着离镜面越来越远而缩得越来越厉害，但影像中拿着缩短了的尺子的人，数出的厘米数会和真实的人完全一样。而且，总的来说，用真实工具按规律变化的影像来进行所有的线和角的几何测量，得到的结果会和在外部世界中得到的完全一样，镜中所有的视线方向都会由镜中的直线来表示。简言之，我看不出镜中的人如何能发现他们的身体不是刚性固体，也看不出他们的经验为何不能成为欧几里得公理正确性的绝佳例证。但如果他们能像我们观察他们的世界那样观察我们的世界，且不越过边界，他们一定会宣称我们的世界是球面镜中的一幅图像，并且谈论我们的方式会和我们谈论他们的方式一样；而且在我看来，如果两个不同世界的居民能够相互交流，谁也无法说服对方自己所处的是真实的世界，而对方的是扭曲的。事实上，我觉得只要不掺杂力学方面的考虑，这样的问题根本就没有任何意义。

——亥姆霍兹，h.

《论几何公理的起源与意义》；《通俗科学讲演集》第二辑（纽约，1881年），第57-59页。

试思凸镜中之世象……良制凸镜，孔径适中，镜前诸物，其象若实，位定于镜面之后。然远天之际、空中日影，其象在镜后，距有限，恰合焦距。此象与镜面之间，镜前他物之象悉在焉，唯其象随物距镜之远，渐缩渐扁……然外界之直线平面，其象皆以直线[？]平面呈之。有人持尺自镜测直线，行愈远，其象愈缩，然象中人持缩尺，所计厘米之数，与真人不爽。大抵而言，以真器之象按律变易，量线测角，所得几何之果，与外界无别；镜中视线，皆以直线呈之。简言之，吾未见镜中人何以知其身非刚体，其验不足证欧氏公理之确。若彼能如吾观其世般观吾世，不越疆界，则必谓吾世为球面镜中画，论吾亦如吾论彼；若两界之人得以相通，依吾之见，皆不能使对方信己为真、彼为妄。实则，若不杂力学之思，此问本无意义。

——亥姆霍兹，h.

《论几何公理之起源与意义》；《通俗科学讲演集》二编（纽约，1881），页五十七至五十九。

2030.从数学角度来看，把空间设想为点的轨迹且只有三个维度，这无需论证；但同样，从数学角度，我们也无法阻止有人断言空间实际上有四个或无限多个维度，只是我们只能感知到三个。越来越多地处于数学研究前沿的多重扩展流形理论，就其本质而言，完全独立于这样的断言。但该理论所采用的表达方式，确实是从这一概念发展而来的。我们不说流形中的个体，而是说更高维空间中的点，等等。这种表达方式本身有很多优点，它能唤起几何直觉，从而便于理解。但它也有一个缺点，即在更广泛的范围内，对任意维数流形的研究，会被认为与上述空间概念并列且显得奇特。这种观点是毫无根据的。如果上述空间概念成立，这些研究确实能立即找到几何应用，但这些研究的价值和目的并不依赖于这一概念，而是基于其本质的数学内容。

——克莱因，F.

《数学年刊》第43卷（1893年），第95页。

视空间为点之轨迹，唯三维，从数学观之，无待辩也；然从数学观，亦不能禁人言空间实有四维乃至无穷维，唯吾辈仅能感知三维。多重扩展流形之学，日益居数学研究之要，其本然与斯言无涉。然其所用表述之式，实由此念而生。不言流形之个体，而言高维空间之点，诸如此类。此式多益，能启几何直觉，便人领悟。然其弊在，广而言之，研任意维流形者，常被视为与上述空间之念并列而显奇特。此见毫无根据。若空间之念可立，斯学立得几何之用；然其价值与宗旨，不系于此念，而在其本有之数学内涵。

——克莱因，F.

《数学年刊》四十三卷（1893），页九十五。

2031.我们很自然地会把几何语言扩展到任意变量的情形，仍然用“点”来表示n个变量的任意一组值（该点的坐标），用“空间”（n维空间）来表示所有这些点或所有这些值的集合，用“曲线”或“曲面”来表示由这样的点构成的延展，这些点的坐标是一个或两个参数的已知函数（在适当限制条件下）（当这些函数是具有相同分母的线性分式函数时，就是“直线”或“平面”），等等。这种扩展在大量研究中已经成为必要，既要赋予这些研究最大的普遍性，又要在其中保留几何的直观特性。但人们已经注意到，在这样使用几何语言时，我们并非真的在构建几何学，因为我们所考虑的形式本质上是解析的，例如，以这种方式构建的一般射影几何，实质上只不过是线性变换的代数学。

——塞格雷，科拉迪

《数学评论》第1卷（1891年），第59页。[J.w.扬]

吾辈自然欲扩几何之语于任意变量，仍以“点”指n变量之值组（点之坐标），以“空间”（n维）指诸点诸值之全体，以“曲线”“曲面”指点所成之展布，其坐标乃一或二参数之已知函数（循适当之限，若为同分母线性分式函数，则为“直线”“平面”），云云。此扩在诸多研究中已成必需，既求其至广之通性，亦存几何之直观。然人已察，如此用几何之语，非真构几何也，盖所论之形，本为解析之属，譬如由此构之一般射影几何，实则不过线性变换之代数耳。

——塞格雷，科拉迪

《数学评论》一卷（1891），页五十九。[J.w.扬]

2032.那些能在普通代数中找到-1的平方根的人，在空间中找到第四维（使Abc能变成Abcd）不会有任何困难；或者，如果他们找不到，只需想象它的存在，并称它为一个“不可能的”维度，且遵循我们所发现的三个可能维度的所有规律。就像普通代数中√?1的所有“有意义的”组合都是“正确的”一样，思辨者可能会凭空想出的任意多个空间维度（即便称之为“不可能的”存在）也是如此。

——德·摩根，A.《三角学与双代数》（伦敦，1849年），第二部分，第3章。

能于常代数中求-1之平方根者，于空间求第四维（使Abc成Abcd），必无滞碍；若不能得，唯想象之，名之曰“不可能”之维，而循吾辈所知三维之律。犹常代数中√?1之“有义”组合皆“真”，思辨者所臆之任意空间维度（虽名之“不可能”），亦复如是。

——德·摩根，A.