新的概念必然对应新的符号。我们选择符号时，会让它能唤起我们对“催生该概念的现象”的记忆。比如，几何图形就是空间直觉的符号或记忆工具，所有数学家都会这样使用它们。

谁在用到双重不等式（如a＜b＜c）时，不会同时在脑海中浮现“三点在直线上依次排列”的画面，将其作为“介于”这一概念的几何直观呢？当需要用绝对严谨的方式证明函数连续性或凝聚点存在性这类难题时，谁不会借助“线段嵌套”“矩形嵌套”的图示呢？谁能不用三角形、带圆心的圆，或是三条互相垂直的坐标轴（十字坐标系）这些图形呢？又有谁会舍弃向量场的表示，或是“曲线族、曲面族及其包络”的图像——要知道，这些图像在微分几何、微分方程理论、变分法基础及其他纯数学学科中，都发挥着至关重要的作用。

算术符号是“书写出来的图形”，几何图形则是“图形化的公式”。没有哪位数学家能舍弃这些图形化公式，就像在计算中不能不用括号的增减，或是其他分析学符号一样。

将几何符号用作严谨证明的工具，前提是我们精确掌握这些图形背后的公理；而要让几何图形融入数学符号的通用体系，就必须对其概念内涵进行严谨的公理式研究。这就像加法运算中，必须将数字按正确顺序上下对齐——因为只有运算规则（即算术公理）能决定数字的正确用法；同理，几何符号的使用，也由几何概念及其组合所依据的公理决定。

几何思维与算术思维的一致性，还体现在：无论是算术讨论还是几何讨论，我们都不会习惯性地将推理链条追溯到公理本身。相反，尤其是在刚着手解决一个问题时，我们会进行快速、无意识且并非绝对可靠的联想——这种联想依赖于对“算术符号行为”的某种算术直觉；就像几何中离不开几何想象力一样，算术中也离不开这种直觉。

若要举一个“用几何思想和符号进行严谨运算的算术理论”例子，我可以提及闵可夫斯基的着作《数的几何》（dieGeotriederZahlen）[2]。

在此，或许有必要谈谈数学问题可能带来的困难，以及克服这些困难的方法。

当我们无法解决某个数学问题时，原因往往是：我们没能找到一个更具普遍性的视角——从这个视角看，当前的问题不过是一系列相关问题链条中的一个环节。找到这个视角后，不仅当前问题的解决会变得更容易，我们还能同时掌握一种可应用于相关问题的方法。柯西引入“复积分路径”，库默尔在数论中引入“理想数”概念，都是这类例子。

这种“通过找普遍方法解决问题”的路径，无疑是最切实、最可靠的：因为一个人若心中没有明确的问题，却去寻找方法，大多会徒劳无功。

在处理数学问题时，我认为“特殊化”比“一般化”发挥着更重要的作用。或许在大多数“我们找不到问题答案”的情况中，失败的原因在于：那些比当前问题更简单、更基础的问题，要么完全没被解决，要么没被彻底解决。因此，关键在于找出这些更简单的问题，并用尽可能完善的方法、可推广的概念去解决它们。

这条准则是克服数学困难最重要的“杠杆”之一，而且在我看来，人们几乎总会用到它——即便可能是无意识的。

偶尔会出现这样的情况：我们在“假设不充分”或“理解方向错误”的前提下寻求解决方案，因此无法成功。这时就会产生一个新问题：证明在给定假设下，或在当前理解的方向上，该问题的解决是不可能的。

古人就曾完成过这类“不可能性证明”，例如他们证明了等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是无理数。在后来的数学中，“某些解法是否可能”的问题占据了核心地位——我们由此看到，那些古老而困难的问题，如平行公理的证明、化圆为方、用根式求解五次方程等，最终都得到了完全令人满意的严谨解答，只是解答方向与最初设想的不同。

或许正是这个重要事实，再加上其他哲学层面的原因，催生了一种信念（每个数学家都认同，但至今无人能证明）：每个明确的数学问题都必然能得到精确解决——要么给出问题所要求的实际答案，要么证明该问题无法解决，从而说明所有尝试都必然失败。

随便找一个未解决的明确问题，比如欧拉-马歇罗尼常数是否为无理数，或是是否存在无穷多个形如（注：原文未完整给出，通常指“形如n^2+1”等特定形式）的素数。无论这些问题在我们看来多么难以触及，无论我们在它们面前多么无助，我们都坚信：它们的解答必然能通过有限步纯粹的逻辑推理得出。

这种“每个问题都可解”的公理，是数学思维独有的特质吗？还是说，它可能是人类心智本质中固有的普遍规律——即心智提出的所有问题都必然有答案？因为在其他学科中，也存在一些古老问题，它们通过“证明不可能性”的方式，得到了对学科发展极具价值的圆满解决。

永动机问题就是一个例子。在试图构造永动机的努力失败后，人们开始研究“若永动机不可能存在，自然界的力之间必须满足怎样的关系”[3]；这个反向问题最终推动了能量守恒定律的发现，而该定律又反过来解释了为何最初设想的永动机是不可能实现的。

“每个数学问题都可解”的信念，是研究者强大的动力源泉。我们内心始终回荡着这样的召唤：问题就在那里，去寻找答案吧。你完全可以通过纯粹的理性找到它，因为在数学中，没有“不可知”（ignorabi）。

数学中的问题是无穷无尽的：一个问题刚被解决，无数新问题就会随之涌现。接下来，请允许我尝试性地列举一些来自数学各分支的具体问题——对这些问题的研究，有望推动学科发展。

让我们先看看分析学与几何学的基础。在我看来，上世纪该领域最具启发意义和里程碑意义的成就，莫过于柯西、波尔查诺与康托尔通过算术方法对“连续统”概念的表述，以及高斯、波尔约与罗巴切夫斯基发现的非欧几里得几何。因此，我首先想让大家关注一些属于这些领域的问题。

[1]本文由玛丽·温斯顿·纽森博士（dr.ARYwINStoNNEwSoN）经作者许可为《公报》（bULLEtIN）翻译。原文发表于《哥廷根新闻》（G?ttgerNachri）1900年第253-297页，以及《数学与物理档案》（Archivderatheatikundphysik）第三辑第一卷（1901年）第44-63页与第213-237页。

[2]莱比锡，1896年（指闵可夫斯基《数的几何》一书的出版信息）。

[3]参见亥姆霍兹（helholtz）《论自然力的相互作用及物理学近期相关研究成果》（UeberdiewechselwirkungderNaturkr?fteunddiedaraufbezuglietengenderphysik），1851年于柯尼斯堡（K?nigsberg）发表的演讲。