此外，数学家有责任在每一种情况下，精确验证新公理与先前公理是否相容。

物理学家在其理论发展过程中，常常会因实验结果而被迫提出新假设，但对于这些新假设与旧公理的相容性，他们仅依赖实验或某种物理直觉来判断——这种做法在严格的理论逻辑构建中是不可接受的。

在我看来，验证所有假设相容性的工作也十分重要，因为为获得这种验证，我们必然会被迫对各公理进行精准表述，而这是最有效的推动方式。

到目前为止，我们仅探讨了与数学学科基础相关的问题。

事实上，对一门学科基础的研究始终极具吸引力，而检验这些基础也始终是研究者面临的首要问题之一。

魏尔斯特拉斯曾说：“始终要牢记的最终目标，是达成对学科基础的正确理解[19]。

但显然，要在科学领域取得进展，对特定问题的研究必不可少。”

的确，要成功研究一门学科的基础，就必须深入理解其特殊理论。

只有彻底且详细地了解建筑用途的建筑师，才能为建筑奠定坚实的基础。

因此，我们现在转向数学各分支的特定问题，首先来探讨算术与代数。

[14]参见博尔曼（bohlann）的《论保险数学》（UeberVersicherungsatheatik），收录于克莱因（Kle）与基克（Kiecke）编撰的《论应用数学与物理学》（Ueberangewaheatikundphysik），莱比锡，1900年。

[15]马赫（ach），《力学及其发展》（dieikihrerEnig），莱比锡，1901年，第4版。

[16]赫兹（hertz），《力学原理》（dieprzipienderik），莱比锡，1894年。

[17]玻尔兹曼（boltzann），《力学原理讲义》（Vorlesungenuberdieprcipederik），莱比锡，1897年。

[18]福尔克曼（Volkann），《理论物理学研究导论》（EfuhrungdasStudiudertheoretisphysik），莱比锡，1900年。

[19]《数学年刊》（ath.Annalen），第22卷，1883年。

7.某些数的无理性与超越性

埃尔米特（herite）关于指数函数的算术定理，以及林德曼（Ldeann）对该定理的推广，无疑会受到历代数学家的推崇。因此，正如A.胡尔维茨（A.hurwitz）已在两篇有趣的论文[20]《论某些超越函数的算术性质》（UeberarithtischeEigenschaftengewissertranszeerFunktionen）中所做的那样，沿着这条已开辟的道路继续深入研究，便成为一项亟待开展的任务。故而，我想概述一类问题，在我看来，这类问题应作为接下来的研究重点。在分析学中，某些重要的特殊超越函数，会在自变量取某些代数值时得到代数函数值，这一现象在我们看来尤为显着，值得深入探究。事实上，我们通常认为，即便自变量仅取代数值，超越函数的值一般也应为超越数；尽管众所周知，存在一些整超越函数，即便对所有代数自变量，其函数值均为有理数，但我们仍有充分理由认为，例如指数函数（文中未明确写出具体形式，此处按上下文保留“指数函数”表述），虽显然在自变量取所有有理值时函数值为代数数，但另一方面，当自变量取无理代数值时，其函数值始终为超越数。我们也可将该论断用几何形式表述如下：

在一个等腰三角形中，若底角与顶角的比值为代数数但非有理数，则底边与腰长的比值始终为超越数。

尽管该论断表述简洁，且与埃尔米特和林德曼已解决的问题具有相似性，但我认为，要证明这一定理难度极大；同样难以证明的还有下述命题：

对于代数底数（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“代数底数”表述）和无理代数指数（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“无理代数指数”表述），表达式（文中未明确写出具体形式，此处按上下文保留“表达式”表述），例如数（文中未明确写出具体数，此处按上下文保留“数”表述）或（文中未明确写出具体数，此处按上下文保留“或”后的留白），始终表示一个超越数，或至少是一个无理数。

可以肯定的是，要解决这些及类似问题，我们必须借助全新的方法，并且需要对特殊无理数与超越数的本质形成新的认识。

[20]《数学年刊》（ath.Annalen），第32卷，1888年。

8.素数问题

近来，阿达马（hadaard）、德拉瓦莱-普桑（deVallée-pos）、冯·曼戈尔特（Vonangoldt）等人在素数分布理论研究中取得了重要进展。然而，要完全解决黎曼（Rieann）在其论文《论小于给定数值的素数个数》（UeberdieAnzahlderprizahlenuntereergegebenenGr?sse）中提出的问题，仍需证明黎曼一个极为重要的论断的正确性，即：由级数（文中未明确写出具体级数，此处按上下文保留“级数”表述）定义的函数（文中未明确写出具体函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）的所有零点，除了众所周知的负整数实零点外，其余零点的实部均为（文中未明确写出具体数值，此处按上下文保留“实部均为”后的留白）。一旦成功证明这一论断，接下来的问题便在于更精确地验证黎曼提出的“小于给定数值的素数个数”的无穷级数公式，尤其要确定：小于数值（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“数值”表述）的素数个数与（文中未明确写出具体对数形式，此处按上下文保留“与”后的留白）的积分对数之间的差值，在（文中未明确写出具体变量，此处按上下文保留“在”后的留白）中，其无穷大的阶数是否确实不超过（文中未明确写出具体阶数，此处按上下文保留“不超过”后的留白）[21]。此外，我们还需确定：在统计素数个数时所观察到的素数偶然聚集现象，是否确实与黎曼公式中那些依赖于函数（文中未明确写出具体函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）的首个复零点的项有关。

在对黎曼素数公式进行详尽研究之后，或许我们终将有能力尝试严格证明哥德巴赫问题[22]，即：每个整数是否都可表示为两个正素数之和；进而研究另一个着名问题，即：是否存在无穷多对差值为（文中未明确写出具体差值，此处按上下文保留“差值为”后的留白）的素数对；甚至研究更具一般性的问题，即：对于线性丢番图方程（文中未明确写出具体方程，此处按上下文保留“线性丢番图方程”表述）（其中给定的整系数两两互素），是否总能找到素数解（文中未明确写出具体解的符号，此处按上下文保留“素数解”表述）和（文中未明确写出具体解的符号，此处按上下文保留“和”后的留白）。

但在我看来，下述问题同样有趣，且或许适用范围更广：将有理素数分布的研究成果应用于给定数域（文中未明确写出具体数域符号，此处按上下文保留“数域”表述）中的理想素数分布理论——这一问题的研究方向是考察与该数域相关的、由级数（文中未明确写出具体级数，此处按上下文保留“级数”表述）定义的函数（文中未明确写出具体函数符号，此处按上下文保留“函数”表述），其中求和范围遍历给定数域（文中未明确写出具体数域符号，此处按上下文保留“数域”表述）的所有理想（文中未明确写出具体理想符号，此处按上下文保留“理想”表述），而（文中未明确写出具体符号，此处按上下文保留“而”后的留白）表示该理想的范数。

在此，我还可提及数论中的另外三个特殊问题：一个涉及互反律，一个涉及丢番图方程，还有一个来自二次型领域。

[21]参见h.冯·科赫（h.vonKoch）即将发表于《数学年刊》的一篇文章[第55卷，第441页]。

[22]参见p.施泰克尔（p.St?ckel）：《论哥德巴赫经验定理》（uberGoldbachsepirischestheore），《哥廷根皇家科学协会通讯》（Nachrid.K.Ges.d.wiss.zuG?ttgen），1896年；以及朗道（Landau）的相关文章，同刊，1900年。