从多个角度来看，这一问题都是可研究的。在我看来，解决该问题算术部分的最重要关键，是任意给定数域中次幂剩余的一般互反律。

至于该问题的函数论部分，研究者在这一极具吸引力的领域开展工作时，可借助单变量代数函数理论与代数数理论之间显着的类比关系。亨塞尔（hensel）[27]提出并研究了代数数理论中与“代数函数幂级数展开”相对应的类比问题；兰茨贝格（Landsberg）[28]则探讨了与“黎曼-罗赫定理”相对应的类比问题。黎曼曲面的亏格与数域类数之间的类比关系也十分明显。仅以最简单的情况为例：一方面考虑亏格为（原文未明确写出具体亏格符号，此处按上下文保留“亏格为”后的留白）的黎曼曲面，另一方面考虑类数为（原文未明确写出具体类数符号，此处按上下文保留“类数为”后的留白）的数域。“证明黎曼曲面上存在处处有限的积分”这一问题，对应着“证明数域中存在整数（原文未明确写出具体整数符号，此处按上下文保留“整数”表述），使得数（原文未明确写出具体数的符号，此处按上下文保留“数”表述）生成一个相对于基域无分歧的二次域”这一问题。在代数函数理论中，众所周知，边值问题（Rahaufgabe）的方法可用于证明黎曼存在定理。而在数域理论中，证明上述整数（原文未明确写出具体整数符号，此处按上下文保留“整数”表述）的存在性，同样是难度最大的问题。要完成这一证明，必须借助“数域中总存在与给定剩余性质相对应的素理想”这一定理的支撑。因此，后一事实正是数论中与“边值问题”相对应的类比对象。

众所周知，代数函数理论中的阿贝尔定理方程，给出了“黎曼曲面上的给定点数是该曲面上某一代数函数的零点”这一结论的充要条件。在类数为（原文未明确写出具体类数符号，此处按上下文保留“类数为”后的留白）的数域理论中，与阿贝尔定理完全对应的，是二次互反律方程[29]（原文未明确写出具体方程，此处按上下文保留“二次互反律方程”表述）。该方程表明：理想（原文未明确写出具体理想符号，此处按上下文保留“理想”表述）是数域的主理想，当且仅当数（原文未明确写出具体数的符号，此处按上下文保留“数”表述）关于理想（原文未明确写出具体理想符号，此处按上下文保留“理想”表述）的二次剩余为正。

由此可见，在刚才概述的问题中，数学的三个基础分支——数论、代数与函数论——实现了最紧密的联系。我确信，尤其是多变量解析函数理论，若有人能成功找到并研究这样一类函数（这类函数对任意代数数域所起的作用，相当于指数函数对有理数域、椭圆模函数对虚二次数域所起的作用），其内容必将得到显着丰富。

接下来转向代数领域，我将提及一个来自方程理论的问题，以及一个由代数不变量理论引出的问题。

[26]《椭圆函数与代数数》（ElliptischeFunktionenundalgebraischeZahlen），布伦瑞克，1891年。

[27]《德国数学会年度报告》，第6卷；以及即将发表于《数学年刊》的一篇文章[第55卷，第301页]：《论代数数的幂级数展开》（UeberdieEnigderalgebraisZahlenpotenzreihen）。

[28]《数学年刊》，第50卷（1898年）。

[29]参见希尔伯特（hilbert）：《论相对阿贝尔数域理论》（Ueberdietheoriederretiv-AbelsZahlk?rper），《哥廷根通讯》（G?tt.Nachri），1898年。

13.能否借助仅含两个自变量的函数求解一般七次方程

列线图解法（Noography）[30]研究的问题是：通过绘制依赖于任意参数的曲线族来求解方程。显然，系数仅依赖于两个参数的方程的每个根（即每个二元函数），都可依据列线图解法的基本原理，以多种方式表示出来。此外，有一大类含三个或更多变量的函数，显然无需借助可变元素，仅通过这一原理就能表示——即所有可通过以下方式生成的函数：先构造一个二元函数，再将该函数的两个自变量分别设为二元函数，接着再将这些新的自变量依次替换为二元函数，如此循环下去，且允许进行任意有限次的二元函数嵌套。例如，任意多个自变量的有理函数都属于这类可通过列线图表构造的函数；因为有理函数可通过加、减、乘、除运算生成，而每种运算都仅产生二元函数。不难看出，在有理数域中可通过根式求解的所有方程的根，也属于这类函数；因为此处除了四种算术运算外，仅需增加开方运算，而开方运算本质上是一元函数。同理，一般的五次和六次方程也可通过合适的列线图表求解；因为借助仅需开方运算的契尔恩豪森变换（tshaentransforations），可将这些方程化为系数仅依赖于两个参数的形式[第26页]。

然而，一般七次方程的根作为其系数的函数，很可能不属于这类可通过列线法构造的函数，即无法通过有限次二元函数嵌套来构造。要证明这一点，需先证明：七次方程（原文未明确写出具体方程，此处按上下文保留“七次方程”表述）无法借助任何仅含两个自变量的连续函数求解。容我补充说明，我已通过严格的方法证实：存在含三个自变量（原文未明确写出具体自变量符号，此处按上下文保留“三个自变量”表述）的解析函数，无法通过有限次二元函数嵌套得到。

不过，通过引入辅助可动元素，列线图解法能够构造含两个以上自变量的函数。近期，多卡涅（doe）已在一般七次方程的求解中证明了这一点[31]。

[30]多卡涅（doe），《列线图解法教程》（traitédeNoographie），巴黎，1899年。

[31]《论七次方程的列线图解法求解》（Surresotionnoographiqnedeléquationduseptièdegré），《法国科学院院报》（ptesrend），巴黎，1900年。

14.某些完备函数系的有限性证明

在代数不变量理论中，我认为“型的完备系是否有限”这一问题值得特别关注。近期，L.毛雷尔（L.aurer）[32]成功将我与p.哥尔丹（p.Gordan）在不变量理论中证明的有限性定理进行了推广——不再以一般射影群为基础定义不变量，而是将任意子群作为不变量定义的基础。

A.胡尔维茨（A.hurwitz）[33]已在这一方向上迈出了重要一步。他通过巧妙的方法，成功对“任意基型的正交不变量系具有有限性”这一结论进行了完全一般性的证明。