由此，我们可推导出如下结论：

1.若构造二阶常微分方程（1）的任意一个单参数积分曲线族，再建立一个同样以这些积分曲线为解的一阶常微分方程：

（略）

则函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）必然是一阶偏微分方程（1*）的一个解；

2.反之，若（略）表示一阶偏微分方程（1*）的任意一个解，则一阶常微分方程（2）的所有非奇异积分，同时也是二阶常微分方程（1）的积分。

简而言之，若（略）是二阶微分方程（1）的一个一阶积分，则（略）是偏微分方程（1*）的一个解；反之亦然[第39页]。因此，二阶常微分方程的积分曲线，同时也是一阶偏微分方程（1*）的特征线。

在当前情形下，我们可通过简单计算得到相同结论：计算后，我们所讨论的微分方程（1）与（1*）可表示为如下形式（略），其中下标表示对（略）的偏导数。由此，上述关系的正确性便显而易见。

前文推导且刚刚证明的“二阶常微分方程（1）与一阶偏微分方程（1*）之间的密切联系”，在我看来，对变分法具有根本性意义。因为，由“积分（略）与积分路径无关”这一事实可推出：

（略）

若将等式左侧积分视为沿任意路径（略）的积分，右侧积分视为沿微分方程（略）的积分曲线（略）的积分。

借助方程（3），我们可得到魏尔斯特拉斯公式：

（略）

其中（略）表示魏尔斯特拉斯表达式，该表达式依赖于（略）。

因此，由于求解过程仅需找到一个“在我们所研究的积分曲线（略）的某邻域内单值且连续”的积分（略），上述推导无需引入二阶变分，仅通过对微分方程（1）应用极线法[第40页]，就能直接得到雅可比条件的表达式，并回答“雅可比条件与魏尔斯特拉斯条件（略）相结合，在多大程度上是取得最小值的必要且充分条件”这一问题。

上述推导无需额外计算，即可推广到“存在两个或更多待求函数”的情形，也可推广到“积分是二重积分或多重积分”的情形。例如，考虑在给定区域（略）上的二重积分：

（略）

在通常意义下，其一阶变分（略）等于零，可得到关于两个变量（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“两个变量”表述）与（略）的待求函数（略）所满足的着名二阶微分方程：

（略）

另一方面，我们考虑积分（原文未明确积分符号，此处按上下文保留“积分”表述，标注为积分J）：

（略）