并探究：应如何将（略）与（略）确定为关于（略）、（略）与（略）的函数，才能使积分J的值与“通过给定闭扭曲线的曲面选择”无关——即与关于变量（略）和（略）的函数（略）的选择无关。

积分J具有如下形式[第41页]：

（略）

而在“问题新表述”所要求的意义下，一阶变分（略）等于零，可得到方程：

（略）

即关于三个变量（略）、（略）与（略）的函数（略）和（略），需满足一阶微分方程：

（略）

若在该微分方程之外，再补充由方程（略）推导得到的偏微分方程（略）：

（略）

则“关于两个变量（略）与（略）的函数（略）所满足的偏微分方程(I)”，与“关于三个变量（略）、（略）与（略）的两个函数（略述）和（留白）所满足的两个一阶偏微分方程构成的方程组（标注为方程组(I*)）”，它们之间的关系，与“单积分情形下微分方程(1)与(1*)之间的关系”完全类似。

由“积分J与积分曲面（原文未明确曲面符号，此处按上下文保留“积分曲面”表述）的选择无关”这一事实可推出：

（原文未写出推导式，此处按上下文保留空白）

若将等式右侧积分视为沿偏微分方程（原文未明确方程符号，此处按上下文保留“偏微分方程”表述）的积分曲面（原文未明确曲面符号，此处按上下文保留“积分曲面”表述）的积分[第42页]；借助该公式，我们可立即得到公式（略）：

（略）

该公式在“二重积分变分”中的作用，与前文给出的公式(4)在“单积分”中的作用相同。借助该公式，我们现在可回答“雅可比条件与魏尔斯特拉斯条件（原文未明确条件符号，此处按上下文保留“魏尔斯特拉斯条件”表述）相结合，在多大程度上是取得最小值的必要且充分条件”这一问题。

上述推导与A.克内泽尔（A.Kneser）[53]从其他视角出发对魏尔斯特拉斯理论的修正表述密切相关。魏尔斯特拉斯在推导极值的充分条件时，采用了“通过固定点的方程(1)的积分曲线”；而克内泽尔则反过来，利用任意一个“由这类积分曲线构成的单参数族”，并为每个这样的曲线族构造了“某偏微分方程的一个特征解”——该偏微分方程可视为雅可比-哈密顿方程的推广。

前文提及的这些问题仅是众多数学问题的范例，但足以表明当今数学科学的内容何其丰富、多样且广博。由此引发我们思考：数学是否会重蹈其他学科的覆辙——分裂成一个个独立分支，各分支研究者彼此难以理解，分支间的联系也愈发松散？我既不相信会出现这种情况，也不希望如此。在我看来，数学科学是一个不可分割的整体，如同一个有机体，其生命力依赖于各部分之间的紧密联系。

尽管数学知识纷繁多样，但我们仍能清晰地察觉到其中逻辑方法的相似性、数学整体思想的关联性，以及不同分支间大量的类比关系。我们还会发现，一门数学理论的发展越深入，其结构就越和谐统一，而此前相互独立的数学分支之间，也会逐渐显现出意想不到的关联。因此，随着数学的不断拓展，其有机整体性不仅不会消失，反而会愈发清晰地展现出来[第43页]。

但有人会问：随着数学知识的不断扩展，单个研究者最终是否必然无法掌握这门学科的所有分支？对此，我想指出一点：数学科学有一个根深蒂固的特点——每一次真正的进步，都会伴随着更敏锐工具的发明与更简洁方法的提出，而这些工具与方法，又能帮助我们理解过往的理论，并摒弃陈旧复杂的推导过程。因此，研究者只要掌握了这些更敏锐的工具与更简洁的方法，就能比在其他任何学科中更轻松地穿梭于数学的各个分支。

数学的有机统一性植根于其学科本质——因为数学是所有自然现象精确知识的基础。愿新世纪能为数学带来富有天赋的大师，以及众多热忱执着的追随者，让数学得以圆满完成这一崇高使命[第44页]。