t^{8}h46533

t^{9}h2324

t^{10}h111

t^{11}h01

t^{12}h00

t^{13}h110

t^{14}h00

t^{15}h11

&c.00

总计2,0482,0482,0482,0482,048

{283}

因此，在非常多次的试验中，我们可以指望出现接近预测平均值的结果。反过来，从多次试验中我们可以猜测平均值会是多少。例如，在布丰的实验中，各组的前2,048次抛掷中有1,061次出现了正面：我们有权推断，从长远来看，在2,048次中出现大约1,061次是正面的比例，甚至在我们知道机会均等的理由（这告诉我们2,048次中出现1,024次才是真实情况）之前就可以这样推断。现在我来谈谈这些考虑如何引致一种方法，仅凭抛掷游戏就比我的一些悖论者更精确地接近了化圆为方。我在第14期的那位朋友{615}对此会作何感想？方法如下：假设有一个常见类型的铺板地板，板之间有细密的可见接缝。有一根细直杆或金属丝，其长度不超过地板的板宽。将此杆随意向上抛掷，它要么完全落在接缝之外，要么会横跨一条接缝。现在，布丰以及后来的拉普拉斯证明了以下结论：从长远来看，所有试验中横跨接缝的试验所占的比例，将是杆长的两倍与以板宽为直径的圆的周长之比。1855年，阿伯丁的安布罗斯·史密斯先生用一根长度是板间距离五分之三的杆进行了3,204次试验：有1,213次明显横跨接缝，还有11次接触难以判定。将这些接触平均分配，我们得到1,218.5比3,204作为6比5π的比值，假定大量的试验次数给出了接近最终平均值或长期结果的值：由此得出π=3.1553。如果所有11次接触都被视为横跨，结果将是{284}π=3.1412，非常接近。我的一个学生用长度等于接缝间距的杆进行了600次试验，得到π=3.137。

这种方法在被重复足够多次以至于对此从未有过任何怀疑之前，恐怕很难让人相信。

第一个实验有力地证明了理论中的一个真理，并已得到实践充分证实：只要试验次数足够多，任何可能发生的事情都会发生。谁会愿意连续抛掷出八次反面呢？然而，在8,192组中，连续8次反面出现了17次；连续9次，出现了9次；连续10次，出现了2次；连续11次和13次，各出现1次；连续15次出现了2次。]

关于π的奇特性

1830年。这个着名的无穷小数3....，数学家称之为π，是圆周长与直径的比值。但它还是成千上万别的东西。它在数学中不断出现：如果算术和代数是在没有几何学的情况下发展起来的，π也必定会以某种方式出现，尽管出现在哪个阶段或以什么名称出现，必然取决于代数发明的偶然性。当我们说明π无非是级数

1-1\/3+1\/5-1\/7+1\/9-1\/11+...

的四倍{285}直至无穷{616}时，这一点就很容易理解了。如果如此简单的一个级数{285}只出现在一种情况下，那才奇怪呢。事实上，我们的三角学是建立在圆的基础上的，π首先是作为上述比值出现的。例如，如果对偏离平均值的概率波动进行深入研究先行展开，π可能会作为一个在处理诸如以下问题时完全不可或缺的数字出现：当用骰子掷六百万次时，掷得一点（Ace）的次数介于一百万加x与一百万减x之间的概率是多少？我还没有详细探讨所有那些情况，即悖论者凭借其自身的敏锐发现数学研究的结果不可能成立：事实上，这个发现只是他对必然成立之事所做的悖论性陈述的一个伴随物，尽管是必要的伴随物。逻辑学家开始认识到，的概念与的概念是不可分割地联系在一起的：没有后者，前者根本不成其为一个概念。而且很明显，对与数学证明相矛盾的事物的肯定性断言，必然伴随着（大多是公开做出的）证明为假的声明。如果数学家有意惩罚这种轻率行为，他可以编造一些声称的结果，让否认者完全上当，从而使其显得荒谬。

三十多年前，我有一位朋友（早已故去），他是一位数学家，但并非从事高等分支的研究：他，除此之外，精通所有与死亡率、人寿保险等相关的知识。一天，我向他解释如何确定一大群目前存活的人在一段时间后幸存者人数落在给定范围内的概率时，当然引入了π，我只能将其描述为圆的周长与直径之比。哦，我亲爱的朋友！那一定是错觉；圆与给定时间结束时的存活人数有什么关系呢？我无法向你证明；但它已经被证明了。哦！胡说！我觉得用你的微积分什么都能证明：肯定是虚构的，{286}毫无疑问。我没再说什么；但几天后，我去找他，非常严肃地告诉他，我在卡莱尔生命表中发现了人类死亡率的规律，他对这个表评价很高。我告诉他，这个规律蕴含在以下情况中。取预期寿命表，选择任何年龄，取其预期寿命并将最接近的整数作为一个新年龄，对该新年龄做同样处理，如此继续；从任何年龄开始，你最终肯定会到达这样一个点，即已过去的年龄等于（或最接近等于）尚存的预期寿命。你的意思是这总是发生？试试看。他试了，一次又一次；发现正如我所说。这确实是一件奇怪的事；这确实是一个发现。我本可以让他四处宣扬这个生命规律：但我满足于告诉他，同样的事情会发生在任何第一列递增、第二列递减的表中；并且，如果一个高等数学的专家想用虚构的东西骗他，他完全可以不用圆：法国谚语说，对付海盗，要用更厉害的海盗{617}。有人评论说，我明白了，这是米尔恩！{618}那不是米尔恩：我清楚地记得后来某个时候把这个公式给他看了。他对π没有提出任何疑问；他知道拉普拉斯结果的形式，而且他很感兴趣。此外，米尔恩从不会说胡说！虚构！。而且他也不会被骗：他会悄悄地用北安普顿表和其他所有表来验证，从而发现真相。