421.数学中符号运算的训练，是学习其他科学的绝佳准备；……现实世界的工作需要人们持续掌握各种符号。——J.w.A.扬《数学教学》（纽约，1907年），第42页

数学习符号之法，可为格物诸学之津梁；尘世诸事，亦赖符号以明其理、成其功。——J.w.A.扬《数学教学》（纽约，1907年），第42页

422.数学的一个显着特点是，它能无限地衍生出实例和问题。学生可能只读了欧几里得的一本书，或者代数的几个章节，但在这个有限的知识范围内，就能为他设置与所学命题同样真实有趣的练习题；这些推导过程可能会让古希腊几何学家感到满意，这些代数命题也不会被帕斯卡和费马轻视。——艾萨克·托德亨特《数学的自主学习：学科的冲突及其他论文》（伦敦，1873年），第82页

数学之奇，在于能化生无数例题、妙题。学子纵仅览欧氏几何数卷，或习代数数章，亦可据其所知，演证新题。其所得之推论，足悦古希腊几何先哲；其代数命题，亦堪入帕斯卡、费马法眼。——艾萨克·托德亨特

《数学自主学习：学科冲突及其他论文》（伦敦，1873年），第82页

423.如果你希望一个人善于推理，就必须尽早对他进行训练；锻炼他的思维，让他观察观念之间的联系，并按逻辑顺序思考。没有什么比数学更能达到这个目的了。因此，我认为所有有时间和机会的人都应该学习数学，倒不是要把他们培养成数学家，而是要让他们成为理性的人。因为尽管我们都自称理性，只要愿意，我们生来就具备理性的潜质，但可以说，天性只赋予我们理性的种子，而我们最终能走多远，取决于自身的勤奋和专注。——约翰·洛克《理解的指导》，第6节

欲培人精思善辩之能，当趁早磨砺。使其观物类之关联，循其理而穷其变。此中妙法，无逾数学。故凡有暇、有能者，皆宜习之。非求其成算学巨匠，实欲塑其理性之质。人虽天生具智，然禀赋仅为萌芽，终须勤勉深耕，方能致广大而尽精微。——约翰·洛克《理解之指导》，第6节

424.其次，学习数学会让人们明白，在推理过程中，有必要区分所有不同的概念，看清当前研究中涉及的所有概念之间的关系，并摒弃与手头命题无关的概念，完全不考虑它们。在除数量关系之外的其他领域，这种方法对于正确推理绝对必要，尽管在这些领域中，人们不太容易注意到这一点，也不会认真践行。在那些被认为不需要证明的知识领域，人们往往笼统地进行推理；如果通过粗略模糊的观察，或者片面的思考，能得出看似合理的结论，他们通常就会满足于此；尤其是在争论中，人们会抓住每一根稻草，任何能为论点增色的内容都会被大肆宣扬。但如果不将所有要素逐一区分，忽略无关内容，而是从所有相关细节的综合结果中得出结论，这样的思维状态是无法发现真理的。——约翰·洛克《理解的指导》，第7节

再者，研习数学，可知思辨之要：必析诸念之异，辨其关联；舍无关之论，绝虚妄之想。此道非独用于量度之学，于他事之明辨亦不可或缺，然唯算学能使人深悟而笃行。若夫他学之域，世人多囫囵而思。观物粗略、立论片面，偶得似是而非之见，便觉足矣。尤其论辩之时，每执细故为据，牵强附会，矜夸不已。然欲探真理，必细剖毫厘，弃冗杂而取精要，汇众理而得确论。否则，终为迷途之人耳。——约翰·洛克《理解之指导》，第7节

=425.=我之前曾提及数学，其中代数学为理解力提供了新的助力与视角。我提及这些并非要让每个人都成为精通的数学家或资深的代数学家；但我认为，即便对于成年人而言，研究数学也有无限用处：首先，通过实践能让他们确信，要让一个人合理推理，仅有自己满意且在日常中足够用的天赋是不够的。一个人在这些研究中会发现，无论他觉得自己的理解力有多好，在许多事情上，甚至是那些显而易见的事情上，理解力也可能会辜负他。这会消除大多数人在这方面对自身的自负；他们也不会轻易认为自己的心智无需帮助来拓展，不会觉得自己理解力的敏锐和洞察力已无可增添。——约翰·洛克《人类理解论指导》，第7节

仆前尝言数学，其中代数为格物致知之新助，别开生面。然非欲人人皆成算学巨擘、代数耆宿也。窃以为，即成年之士，研习此学，亦获益匪浅。首者，以实证之，欲善推理者，徒恃天赋，于日用间差强人意，犹未足也。人习此学，则知纵自恃其智，于诸多显明之事，亦有智穷之时。如此，可祛常人于此道之骄矜，不复轻谓己心无待增益，不复妄言己之睿思洞察无可进矣。

——约翰·洛克《人类理解论指导》，第七节

=426.=我曾提到数学是让心智养成严密且连贯推理习惯的一种方式；并非我认为所有人都必须成为资深数学家，而是因为，一旦掌握了数学研究必然带给心智的推理方法，人们就能够在有需要时将其迁移到知识的其他领域。因为在所有类型的推理中，每个单独的论证都应像数学证明一样处理；观念之间的联系和依赖关系应被追踪，直到心智触及它所依据的根源，并始终观察到其中的连贯性……

——约翰·洛克《人类理解论指导》，第7节

仆尝言数学可令心府成缜密循次推理之习。非谓人皆须深通算学，实以其学必授人推理之法，若遇他学，亦可触类旁通。盖凡推理，每论皆当如数学之证，细察观念之关联倚赖，穷其本源，通贯首尾，观其脉络相承……

——约翰·洛克《人类理解论指导》，第七节

=427.=作为对推理能力的训练，纯数学是一种极佳的训练，因为它仅由“推理”构成，不会让学生因“判断”的训练而负担过重；而且最好先开始一次学习一件事，并将心智训练的组合推迟到更晚的时期。

——R.惠特利《培根随笔注释》（波士顿，1873），第一篇随笔，第493页

若为练思之术，纯数学堪称妙法。以其唯恃推理，不杂判断之务，可使人专习一事，循序渐进。初学之际，宜先专精，而后兼修他术，此乃善学之道也。

——R.惠特利《培根随笔注释》（波士顿，1873），首篇，第四百九十三页

=428.=自古就有这样一种说法：几何学是极佳的逻辑学。必须承认，当定义清晰时；当公设无法被拒绝、公理无法被否定时；当从对图形的清晰思考和比较中，通过一连串始终连贯的推论推导出其性质时，且对象始终在视野中、注意力始终专注于其上；此时就会养成一种严密、精确且有条理的推理习惯；这种习惯会强化和磨砺心智，且当它被迁移到其他学科时，在追求真理的探究中具有普遍用途。

——乔治·贝克莱

《分析学家》，第2章；《着作集》（伦敦，1898），第3卷，第10页

古云：“几何者，至精之逻辑也。”诚哉斯言！夫定义昭昭，公设无可驳，公理不可违。观图形之象，比其异同，以连环相扣之推论，穷其性质。目不离象，神不外驰，则能成谨严精审、条理井然之推理之习。此习既成，可砺心智，若推及他学，于求道问真之事，皆大有裨益。

——乔治·贝克莱《分析学家》，第二章；《文集》（伦敦，1898），卷三，第十页