429.假设我想训练自己的推理艺术；假设我想跳出猜想与概率的领域，摆脱权衡证据的艰巨任务——不必再费力拼凑实例来归纳普遍命题，而只想知道如何正确处理已获得的普遍命题，并从中演绎出正确结论。显然，这种思维训练在最基础原理绝对正确的学科中效果最佳。因为在所有思考中，若得出错误结论，无非两种原因：要么始于错误前提（此时无论推理多缜密都难逃谬误），要么推理过程本身有缺陷（此时即便前提完全正确，结论仍可能错误）。
但在数学或纯粹科学中——几何、算术、代数、三角学、变分法或曲线微积分——我们至少确信其第一原理绝无错误可能，因此可将全部注意力集中于推理过程本身。正因这些学科皆以空间与数量的基本真理为基础，它们历来被视为最严密的逻辑训练。当柏拉图在学园门口刻下未通几何者不得入内时，并非要求弟子们讨论线与面的问题。相反，他引导弟子思考的是人类存在、责任、命运及其与神灵和未知世界关系等最深奥的命题。几何学与这些何干？
关键在于：未经系统思维训练、不懂从前提中合法推导结论之人，根本不配探讨这些崇高命题；而柏拉图时代唯一体系化的数学科学——几何学，恰恰能提供这种必需的逻辑训练。我们英国长久以来也奉行此原则。未来的律师、牧师和政治家们在大学被要求研习大量曲线、角度、数字与比例知识，绝非因这些内容与其职业生涯有何关联，而是通过学习它们，方能养成坚定精准的思维习惯——这种习惯对人生一切志业的成功都不可或缺。
——J.c.菲奇，《教学演讲录》（纽约，1906年），第291-292页
设吾欲精研推理之术，冀脱臆测揣度之域，免罹权衡证验之苦。不劳缀辑事例以成公论，但求明于处置既得之通理，而能演绎确论。其理昭然，若欲炼此思维，莫若求诸基理确凿之学。盖凡思索致误，其因有二：一者始于谬论，纵推理缜密，终陷歧途；二者推演失当，虽前提无误，亦难获正解。
至于数学及纯粹之学，若几何、算术、代数、三角、变分、微积之属，吾人可笃信其根本原理无谬，故能专意于推演之术。此等学问，皆立基于空间数量之至理，向被视为逻辑锤炼之极则。昔柏拉图于学园门首刻铭曰：“未谙几何者，勿入斯门。”非欲学徒徒事线面之辨，实欲其思索人生、责任、运数，以及人神之际、幽明之故等玄奥之旨。几何之学，与斯事何涉？
其要在于：若人未受系统思维之训，不明推论之法，则无足与论此等高深之理。而柏拉图之时，几何学为唯一体系完备之数学，正可授人以必需之逻辑训练。吾英邦亦久循此道，凡习律、学道、志在经纶之士，于太学之中，必研求曲线、角度、数理、比例之学。非以其与他日功业相关，实欲借此养成精审果决之思维，盖此等习性，于人生百业之成，皆不可或缺也。
——J.c.菲奇，《教学演讲录》（纽约，1906年），第291-292页
430.所有人都承认：一个成熟甚至合格的思考者绝非仅凭天赋就能造就——日常经验清楚表明，教育能开发那些否则永远不会显现的潜能。因此，要具备推理能力，必须先学习如何推理，正如要学会游泳或击剑就必须先接受训练。推理必须有所依托，具体对象并不重要，只要能确保推理过程可靠即可。心灵或物质的特性、语言研究、数学或自然历史都可作为训练素材。而在所有选项中，最理想的是选择能验证推理结果的领域——即通过测量或各类直观演示等其他手段来检验结论真伪的学科。
就像最初发现磁石指向性时，人们必须在探险航行前反复验证这项新发现的可靠性。我们的理性能力同样如此：在完全信任推理之前，最好先在能通过其他方式验证结论真伪的对象上锻炼这种能力。数学尤其适合这种训练，原因如下：
1.术语明确定义：每个概念都有清晰解释且唯一含义，极少出现同义术语混用。
2.公理不言自明：基本原理直观可见，所需观察力不超过儿童普遍认知水平。
3.证明绝对严谨：除自明公理外不作任何假设，不依赖概率，完全独立于权威与主观意见。
4.结论可被检验：几何结论可通过实际测量验证，代数结论可通过算术计算复核——这对建立信心至关重要。正如前文所言，理性不应是导师，而应是学生。
5.概念界限分明：不存在含义相近易混淆的词汇，术语间非此即彼，完全规避表示程度差异的形容词\/副词。
——奥古斯塔斯·德摩根，《数学研究与难点》（芝加哥，1898年），第1章
世人咸谓：善思之士，非独恃天赋可成。验诸日用，教育能启潜藏之智，若弗然，则终隐而不彰。故欲精于推理，必先学其法，犹习泳、练剑，非经训诫不能得也。推理必有所凭，所据之物非关宏旨，要在能证其推演之确。或究心物之性，或治语言之学，或习数理，或研博物，皆可为练思之资。然诸科之中，最善者莫若能验其结论者——即以量度、演示等术，核其论之真伪。
昔人初察磁石指南之性，必于航海前再三核验，以证其信。吾人之理性亦复如是，未可遽信，当先择可核之事物，习练其能。数学之为用，尤适于斯道，其由有五：
一曰名辞精审。每立一义，释义明切，旨归唯一，鲜见异名同实之弊。
二曰公理自显。根本之理，昭然若揭，其智识之需，不逾童蒙之量。
三曰论证谨严。除自明之理，不假他设，不恃或然，超然于权威私见之外。
四曰结论可征。几何之论，以度测验；代数之解，以算复核。此于树立信据，最为切要。如前所云，理性非师道，实当为学徒。
五曰概念判然。义无模棱，辞无含混，非此即彼，绝去形容之辞，不涉程度之差。
——奥古斯塔斯·德摩根，《数学研究与难点》（芝加哥，1898年），首章